Implizite Fläche, Krümmungstensor und mittlere Krümmung

22/04/2009 - 10:57 von Klemens Reuther | Report spam
Hallo,

Es ist möglich, eine in R^n eingebettete Flàche implizit durch eine
Funktion Phi:R^n -> R darzustellen. Die Flàche wird dann durch die
Nullstellen von Phi beschrieben.
Nun ist es möglich, die Normalenvektoren zu der Flàche durch grad Phi zu
erhalten. Ebenso hàngt der Krümmungstensor der Flàche mit der
Hessematrix der Funktion Phi zusammen.

Nun meine Frage:
Wie kann ich die mittlere Krümmung der Flàche an einem Punkt aus der
Hessematrix ermitteln?

(Evtl. ist das eine sehr simple Frage für Mathematiker, ich habe nur die
Antwort nicht finden können)

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

Klemens

P.S.: Interessieren tut mich insbesondere der Spezialfall n=3.
Langweilig, ich weiß :-) )
 

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#1 Ulrich Lange
22/04/2009 - 11:58 | Warnen spam
Klemens Reuther schrieb:

Es ist möglich, eine in R^n eingebettete Flàche implizit durch eine
Funktion Phi:R^n -> R darzustellen. Die Flàche wird dann durch die
Nullstellen von Phi beschrieben.
Nun ist es möglich, die Normalenvektoren zu der Flàche durch grad Phi zu
erhalten. Ebenso hàngt der Krümmungstensor der Flàche mit der
Hessematrix der Funktion Phi zusammen.

Nun meine Frage:
Wie kann ich die mittlere Krümmung der Flàche an einem Punkt aus der
Hessematrix ermitteln?

[...]
P.S.: Interessieren tut mich insbesondere der Spezialfall n=3.
Langweilig, ich weiß :-) )



Hallo Klemens,

falls Du in erster Linie an der konkreten Berechnung der Krümmung aus
der impliziten Darstellung der Flàche interessiert bist: Meistens ist es
viel zu aufwendig, die Hesse-Matrix explizit auszurechnen.
Die IMHO "praktischste" Formel für die mittlere Krümmung H ist:

2 H = div(n)

wobei n der Einheitsnormalenvektor, also grad(phi)/|grad(phi)| ist.


Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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