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implizite Zeitabhaengigkeit

09/01/2008 - 14:42 von reyungoo | Report spam
Hi,
ich verstehe gerade etwas nicht, im Schroedinger-Bild sind die
Operatoren
zeitunabhaengig, wenn sie nicht doch explizit von t abhaengen durch
aussere t abhaengige Felder. So steht es immer. Was ist aber mit der
impliziten Zeitabhaengigkeit, die in \vec{p} oder \vec{x} steckt? Oder
gibt es die gar nicht, warum auch immer.

Gruss
Niko
 

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#1 Roland Franzius
09/01/2008 - 15:18 | Warnen spam
schrieb:
Hi,
ich verstehe gerade etwas nicht, im Schroedinger-Bild sind die
Operatoren
zeitunabhaengig, wenn sie nicht doch explizit von t abhaengen durch
aussere t abhaengige Felder. So steht es immer. Was ist aber mit der
impliziten Zeitabhaengigkeit, die in \vec{p} oder \vec{x} steckt? Oder
gibt es die gar nicht, warum auch immer.



Die Schrödingertheorie wird mit angenageltem Ursprung und darum
zentriertem Hilbertraum H von Funktionen R^3->C zu fester Zeit
entwickelt. Zeitabhàngige Funktionen versteht man dabei als einen
t-parametrisierten Satz von zeitunabhàngigen Funktionen in H, meist als
unitàr mit dem Hamiltonoperator Ham aus den zur Zeit t=0 gedachten
Startfunktionen f(0,x)==f(x) entwickelt

f(t,x) = exp(-i Ham t/hquer) f(x)

Die Komponenten des Ortsoperators

X_k : f(t,x)-> x_k f(t,x)

und des Impulsoperators

P_k _ f(t,x)-> - i hquer d/dx_k f(t,x)

sind dabei explizit zeitunabhàngig in dem Sinn, dass sie nur die
Variablen x=(x_1,x_2,x_3) und nicht t in f(t,x) benutzen.

Eine Zeitabhàngigkeit haben daher nur f(t,x) und natürlich alle
Matrixelemente der explizit zeitunabhàngigen Operatoren a(X) zwischen
zeitabhàngigen f,g:

< (x->f(t,x)) , a(X) (x-> g_t(x)) >
= < (x->f(t,x)) , x-> (a(x) f(t,x)) >

Da für unitàre Zeitentwicklung U(t) = exp(-i Ham t/hquer) gilt

< f(t,x), a(X,P) g(t,x)>
= <U(t) f(0,x), a(X,P) U(t) g(0,x)>
= <f(0,x), ( U^*(t) a(X,P) U(t) )g(0,x)>
= <f(0,x), a( ( U^*(t) X U(t) , ( U^*(t) P U(t)) g(0,x)>

bezeichnet man X_t=U^*(t) X U(t) etc gern als zeitabhàngige Operatoren
im Heisenbergbild.

Man kann das aber nur unter der grob falschen Annahme mit Erfolg machen,
dass man den Hamiltonoperator genauer als genau kennt. Sonst ist das
einfach nur ein Arbeiten mit "falschen" Operatorsàtzen, was etwas
gefàhrlicher beim Übergang zu unendlich vielen Freiheitsgraden ist als
die Benutzung falsch zeitentwickelter Hilbertraumbasen durch genàherte
Hamiltonoperatoren.

Siehe zB den kürzlich losgetretenen kapriziösen Endlosthread über
Ortsoperatoren für Photonen.


Roland Franzius

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