Indizes abzaehlbar oder nicht?

27/08/2010 - 01:20 von Fragesteller | Report spam
Ist das da unten nicht ein Widerspruch? (Formulierung Deiser)

1) Der Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein sagt

Seien A, B Mengen, und es gelte |A| <= |B| und |B| <= |A|.
Dann gilt |A| = |B|.

Beweis nach Julius König 1906
Seien f : A → B und g:B → A injektiv.
Für jedes x  A definieren wir rekursiv:
x0 = x,
xn+1 = g^-1(xn) falls n gerade
f^−1(xn) falls n ungerade
solange die Urbilder existieren. Sei
A0 = { x in A | xn ist für alle n in N definiert oder
es gibt ein letztes xn und dessen Index n ist gerade }
Wir setzen nun für x in A:
h(x) = f(x), falls x in A0,
g−1(x), sonst.
Dann ist h : A → B bijektiv.

HINWEIS: Hier werden also für JEDE unendliche Menge Indices herangezogen.
Dagegen heisst es:

2) Satz der Überabzàhlbarkeit einer vollstàndigen dichten Ordnung
Sei (K, <=) eine dichte und vollstàndige lineare Ordnung mit mehr als einem
Element. Dann ist K überabzàhlbar.Mit anderen Worten:
Ist <xn|n in N> Folge in K, so gibt es ein x* in K mit x* ≠ xn für alle n.
Beweis
Seien x0,x1,...xn,... paarweise verschiedene Elemente von K.
Ohne Einschrànkung sei x0 < x1 (sonst vertauschen wir x0 und x1).
Wir definieren g(0) = 0, g(1) = 1, und setzen dann rekursiv für n >= 2:
g(n)='das kleinste k mit xg(n−2) < xk < xg(n−1) oder xg(n−1) < xk < g(n−2)'.
Existiert g(n) nicht, so ist x* = (xg(n − 2) +xg(n − 1))/2 wie gewünscht.
Ist aber g(n) für alle n definiert, so gilt nach Konstruktion:

xg(0) < xg(2) < xg(4) < ...{{*}}... < xg(5) < xg(3) < xg(1).

Sei X = { xg(2n) |n ∈ N }. Dann ist X nach oben beschrànkt in K, also
existiert x* = sup(X). Nach Konstruktion von g kann dann aber x* kein
Element der Folge der xn sein (sonst wàre x* = xg(n) für ein geeignetes n).

FAZIT: Der Beweis "lebt" von der Folge gn, die dann entscheidend
mit dem Argument << oben als ... "{{*}}"... markiert >> herangezogen
wird, heisst das nicht, dass der Beweis darauf beruht, dass nicht
genügend n's oder Indices zur Verfügung stehen, d.h. abzàhlbar viele
reichen nicht, um als Beweis in überabzàhlbaren Mengen zu operieren.

Es steht hier offenbar in 1) und 2) das Argument

Indizierung von "beliebig unendlichen" Mengen funktioniert in 1)

und

Unmöglichkeit der Indizierung von überabzàhlbaren Mengen geht nicht in 2)

gegenüber, oder?
 

Lesen sie die antworten

#1 Karl Heinz
27/08/2010 - 02:06 | Warnen spam
Fragesteller schrieb:

Hier noch was:

(Deiser:) "Die Antwort gibt der folgende zeitlose Satz." (von Cantor!)

Satz Überabzàhlbarkeit von R
Es gilt |N| < |R|.
Beweis
Für ein reelles abgeschlossenes Intervall I = [a,b], a < b, seien
L(I) = [a, a + (b − a)/3] und R(I) = [b − (b − a)/3, b]
das linke bzw. rechte Drittelintervall von I.
Seien nun a,b in R,a  b beliebig, und sei f : N → [a, b] beliebig.
Es genügt zu zeigen, daß f nicht surjektiv ist.
Wir definieren rekursiv In für n in N durch
I0 = [a,b] und
In+1 = L(In), falls f(n) in R(In),
R(In), sonst.
Sei Schnitt(n in N)(In = {d}).
Nach Konstruktion gilt d not in rng(f) und d in [a,b].
Also ist f : N → [a,b]nicht surjektiv

Fazit: das obige "Argument" ist ja nun insoweit nicht verstàndlich,
dass es ebensogut mit N selbst funktioniert. Offenbar nichtiger Unsinn...

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