Induktion bei Ungleichung

01/04/2008 - 16:39 von Torsten Curdt | Report spam
Hi,

Ich stecke gerade so ein bisschen fest. Es gilt zu beweisen

sum(1/sqrt(i)) i..n > sqrt(n) für n >= 2

Induktionsanfang n=2:

1 + 1/sqrt(2) > sqrt(2)
<=> sqrt(2) +1 > 2
<=> sqrt(2) > 1
<=> 2 > sqrt(2)

Induktionsannahme:

sum(1/sqrt(i)) i..n+1 > sqrt(n+1)
<=> sum(1/sqrt(i)) i..n + 1/sqrt(n+1) > sqrt(n+1)
<=> sum(1/sqrt(i)) i..n > sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1)

Mir ist gerade allerdings nicht so ganz klar wie es weitergehen zu hat.

sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1) != sqrt(n)

Das steht soweit fest.

n=3:
sqrt(4) - 1/sqrt(4) = sqrt(3)
2 - 1/2 = sqrt(3)
=> falsch

Die einzige Idee die ich hàtte wàre versuchen zu zeigen, dass

sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1) < sqrt(n)

weil dann ja auch

sum(1/sqrt(i)) i..n > sqrt(n)

gelten müsste.

Holzweg? Oder wie wirds gemacht?

Gruss
Torsten
 

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#1 Klaus Nagel
01/04/2008 - 17:09 | Warnen spam
Torsten Curdt wrote:
Es gilt zu beweisen

sum(1/sqrt(i)) i..n > sqrt(n) für n >= 2

Induktionsanfang n=2:

1 + 1/sqrt(2) > sqrt(2)
<=> sqrt(2) +1 > 2
<=> sqrt(2) > 1
<=> 2 > sqrt(2)

Induktionsannahme:

sum(1/sqrt(i)) i..n+1 > sqrt(n+1)
<=> sum(1/sqrt(i)) i..n + 1/sqrt(n+1) > sqrt(n+1)
<=> sum(1/sqrt(i)) i..n > sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1)

Mir ist gerade allerdings nicht so ganz klar wie es weitergehen zu hat.

sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1) != sqrt(n)

Das steht soweit fest.

n=3:
sqrt(4) - 1/sqrt(4) = sqrt(3)
2 - 1/2 = sqrt(3)
=> falsch

Die einzige Idee die ich hàtte wàre versuchen zu zeigen, dass

sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1) < sqrt(n)

weil dann ja auch

sum(1/sqrt(i)) i..n > sqrt(n)

gelten müsste.

Holzweg? Oder wie wirds gemacht?



Der Holzweg ist es, Induktion zu versuchen. Man braucht sich die
Ungleichung nur genau anzusehen!

Gruß,
Klaus Nagel

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