Induktion. Fortsetzung

08/02/2008 - 10:50 von Joachim Mohr | Report spam
Hallo,

in den Artikeln zu
"Abschàtzung: Geometrisches vs. arithmetisches Mittel"

wies mich Helmut Richter auf folgenden sehr einleuchtenden Satz hin,
den ich der Einfachheit wegen nur mengentheoretisch formuliere:

Satz: Jede nichtleere Teilmenge natürlicher Zahlen besitzt
ein kleinstes Element (d.h.: "N ist wohlgeordnet.")

Wie kann man dies aus dem Induktionsprinzip
beweisen?

Induktionsprinzip: Eine Teilmenge natürlicher Zahlen,
die 1 und mit n auch n+1 enthàlt ist die Menge der natürlichen Zahlen.


MFG Joachim

P.S. http://www.lrz-muenchen.de/~hr/tmp/transfinit
habe ich studiert. Dabei stellt sich noch eine weitere Frage:
Ist dies so überhaupt beweisbar?


Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html
 

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#1 Rainer Rosenthal
08/02/2008 - 11:17 | Warnen spam
Joachim Mohr schrieb:

Satz: Jede nichtleere Teilmenge natürlicher Zahlen besitzt
ein kleinstes Element (d.h.: "N ist wohlgeordnet.")

Wie kann man dies aus dem Induktionsprinzip
beweisen?

Induktionsprinzip: Eine Teilmenge natürlicher Zahlen,
die 1 und mit n auch n+1 enthàlt ist die Menge der natürlichen Zahlen.



Der Satz *ist* das Induktionsprinzip.
Wenn Du eine Aussage A(n) für alle n beweisen willst, dann betrachtest
Du die Menge M aller natürlichen Zahlen m, für die A nicht gilt. Dann
nimmst Du an, diese Menge sei nicht leer und führst diese Annahme zu
einem Widerspruch. Die Annahme führt ja zu dem Schluss, dass M ein
kleinstes Element haben muss. Dieses Element kannst Du als n+1 schreiben,
wobei A(n) gilt und auch A(k) für alle k < n.

Gruss,
Rainer Rosenthal

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