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Induktionsgesetz bei zeitlich veränderlicher Fläche A(t)

12/01/2013 - 00:47 von Stephan Gerlach | Report spam
Vor einiger Zeit stellte ich hier eine Frage zum elektromagnetischen
Induktionsgesetz, die IMHO zu einer durchaus erhellenden Diskussion
geführt hat.


Schon wieder habe ich leider eine Frage dazu, von der ich nicht sicher
bin, ob man sie nicht auch rein mathematisch behandeln kann; daher
zunàchst das Crosspost nach de.sci.mathematik. Follow-Up bitte bei
Bedarf ignorieren.

Gegeben seien:
- Ein zeitlich verànderliches Magnetfeld B(x,t), was mathematisch als
Vektorfeld im R^3 mit einem Parameter t aufgefaßt werden kann. x ist
hierbei die Variable, also ein Vektor im R^3.
- Eine von der Zeit abhàngige(!) Flàche A(t) als Teilmenge im R^3. Rein
mathematisch ist es einfach eine Flàche mit einem Parameter t drin.
- Der Rand dA(t) von A(t); dA(t) ist also eine geschlossene,
zeitabhàngige Kurve im R^3. Man beachte, daß t nicht der übliche
"Kurvenparameter" von dA(t) sein soll, wenn man eine
Parameterdarstellung der Kurve dA(t) zugrunde legt.

Es gilt dann das bekannte Induktionsgesetz in Integralform

Flàchenintegral_A(t) dB(t)/dt dO = -Kurvenintegral dA(t) E(x,t) dx

mit einem E-Feld E(x,t). Daß hierbei die Flàche und deren Rand
zeitabhàngig sein können, stört erstmal nicht sonderlich.
Genaugenommen geht es mir auch gar nicht um *diese* Gleichung.


Im Zusammenhang damit wird allerdings in verschiedenen Quellen (u.a.,
aber nicht nur, Wikipedia) im Flàchenintegral der Differentialoperator
d/dt "vors Integral gezogen", was zur Folge hat, daß die
Zeitabhàngigkeit von A(t) eine Rolle spielt. Es wird dann folgende
Formel behauptet:

d/dt [Flàchenintegral_A(t) B(t) dO]
= Flàchenintegral_A(t) dB(t)/dt dO
- Kurvenintegral dA(t) v(x,t)×B(x,t) dx. (#)

Dabei ist v(x,t) die Geschwindigkeit, mit der sich das Kurvenstück dx
"bewegt". v(x,t)×B(x,t) dürfte der "zusàtzliche Anteil" E-Feld sein, den
ein mit dem Kurvenstück dx mitbewegter Beobachter aufgrund der Bewegung
sieht. Die Formel sollte zumindest für hinreichend kleine
Änderungsgeschwindigkeit von dA(t) gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c
gelten.

Soweit einige physikalische Aspekte.
Naja, eines sollte ich noch erwàhnen: Es gilt bekanntermaßen

div B(x,t) = 0

für alle x und t, d.h. B ist quellenfrei.


Nun zur eigentlichen Frage:

Làßt sich obige Formel (#) *ohne* weitere physikalischen Überlegungen,
z.B. Annahme irgendwelcher Leiterschleifen, die sich entlang von dA(t)
bewegen, rein mathematisch beweisen? Ich dachte mir, daß dies vielleicht
möglich sei, da in (#) kein E-Feld vorkommt. Die Gleichung würde dann
einfach beschreiben, wie man ein Oberflàchenintegral nach einem
Parameter t ableitet.

Mögliche Beweisversuche:
1.) Man könnte z.B. eine Parameterdarstellung x(u,v,t), y(u,v,t),
z(u,v,t) der Flàche A(t) einführen und versuchen, das Integral auf der
linken Seite von (#) elementar auszurechnen. Scheint mir aber sehr
unübersichtlich zu werden und zudem nicht zielführend zu sein.
2.) Wegen div B = 0 existiert ein Vektorpotential f mit rot f = B.
Dann kann man auf das Integral
Flàchenintegral_A(t) B(t) dO
auf der linken Seite von (#) den Stokes'schen Integralsatz anwenden und
kommt nach kurzer Überlegung immerhin zum Term
Flàchenintegral_A(t) dB(t)/dt dO
auf der rechten Seite. Allerdings sieht bei mir dann der "Rest" noch
nicht so richtig nach dem gewünschten
-Kurvenintegral dA(t) v(x,t)×B(x,t) dx
aus.

Das beides nicht so richtig funktioniert, könnte nun daran liegen, daß
- eines von beiden 1.) oder 2.) der richtige Beweis-Ansatz ist, aber ich
irgendwas übersehen habe; oder
- der Beweis-Ansatz geht komplett anders; oder aber
- die Formel gilt (als rein mathematische Formel) so *nicht*, sondern
nur unter weiteren physikalischen Annahmen.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Pangloss
16/01/2013 - 10:15 | Warnen spam
[de.sci.mathematik 11 Jan 2013] Stephan Gerlach ha scritto:
.
Gegeben seien:
- Ein zeitlich verànderliches Magnetfeld B(x,t), was mathematisch als
Vektorfeld im R^3 mit einem Parameter t aufgefaßt werden kann. x ist
hierbei die Variable, also ein Vektor im R^3.
- Eine von der Zeit abhàngige(!) Flàche A(t) als Teilmenge im R^3. Rein
mathematisch ist es einfach eine Flàche mit einem Parameter t drin.
- Der Rand dA(t) von A(t); dA(t) ist also eine geschlossene,
zeitabhàngige Kurve im R^3. Man beachte, daß t nicht der übliche
"Kurvenparameter" von dA(t) sein soll, wenn man eine
Parameterdarstellung der Kurve dA(t) zugrunde legt.
.
Zeitabhàngigkeit von A(t) eine Rolle spielt. Es wird dann folgende
Formel behauptet:

d/dt [Flàchenintegral_A(t) B(t) dO]
= Flàchenintegral_A(t) dB(t)/dt dO
- Kurvenintegral dA(t) v(x,t)×B(x,t) dx. (#)

Dabei ist v(x,t) die Geschwindigkeit, mit der sich das Kurvenstück dx
"bewegt". v(x,t)×B(x,t) dürfte der "zusàtzliche Anteil" E-Feld sein, den
ein mit dem Kurvenstück dx mitbewegter Beobachter aufgrund der Bewegung
sieht. Die Formel sollte zumindest für hinreichend kleine
Änderungsgeschwindigkeit von dA(t) gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c
gelten.
..
Nun zur eigentlichen Frage:

Làßt sich obige Formel (#) *ohne* weitere physikalischen Überlegungen,
z.B. Annahme irgendwelcher Leiterschleifen, die sich entlang von dA(t)
bewegen, rein mathematisch beweisen? Ich dachte mir, daß dies vielleicht
möglich sei, da in (#) kein E-Feld vorkommt. Die Gleichung würde dann
einfach beschreiben, wie man ein Oberflàchenintegral nach einem
Parameter t ableitet.



http://pangloss.ilbello.com/Fisica/...araday.pdf

Mein Artikel ist auf Italienisch geschrieben, müßte aber leicht
verstàndlich sein, da es sich um eine matematische Arbeit handelt.
Meine deutsche Sprachkenntisse sind leider nicht ausreichend um
das Problem hier ausfürlich zu diskutieren.

Elio Proietti
Valgioie (TO)

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