Induktionsproblem

28/08/2009 - 20:29 von Christian Rapold | Report spam
Hallo!
Habe ein mathematisches Problem, dass mir nun schon einige Tage den Kopf
zerbricht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Also gegeben sind (in Latex Schreibweise)
A \in (R^+)^T, wobei A[1]=1.222 (Schreibweise für Zugriff auf das erste
Element des Vektors), T eine natürliche Zahl größer gleich 1, R^+ stellt
die positiven natürlichen Zahlen dar
g \in [0,0.1]

Aus diesem Vektor und dem g generiert man nun 3 neue Vektoren, welche
von einem Tupel (\alpha,\beta) abhàngig sind. Diese Vektoren sind auch
aus (R^+)^T und wie folgt definiert:
L[1]=1, E[1]=0.1222,B[1]=0.1

für 1 <= n <= T:
L[n]=L[n-1]e^g+\alpha *
max((A[n]-(L[n-1]e^g+E[n-1]e^g+B[n-1])),0)-max((L[n-1]e^g-A[n]),0)

B[n]=B[n-1]+(1-\alpha-\beta)*max((A[n]-(L[n-1]e^g+E[n-1]e^g+B[n-1])),0)-
max(B[n-1]+L[n-1]e^g+E[n-1]-A[n]),0)+max((L[n-1]e^g+E[n-1]-A[n]),0)

E[n]=A[n]-L[n]-B[n]
-

Nun würde ich gerne zeigen, dass für fixes \beta \in [0,1] folgende
Monotonie gilt:

für \alpha_1 <= \alpha_2 mit \alpha_1,\alpha_2 \in [0,1-\beta] soll
gelten, dass für beliebiges T
L[T](generiert mit \alpha_1) <= L[T](generiert mit \alpha_2)


Auch würde ich gerne eine Monotonie für fixes \alpha \in [0,1] zeigen:

für \beta_1 <= \beta_2 mit \beta_1,\beta_2 \in [0,1-\alpha] gilt
E[T](generiert mit \beta_1) <= E[T](generiert mit \beta_2)


Als Idee hab ich jedenfalls immer den Ansatz über vollstàndige Induktion
benutzt, konnte aber keine geeigneten Abschàtzungen finden.

mfg
christian
 

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#1 Stephan Gerlach
17/09/2009 - 16:52 | Warnen spam
Christian Rapold schrieb:

Habe ein mathematisches Problem, dass mir nun schon einige Tage den Kopf
zerbricht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Also gegeben sind (in Latex Schreibweise)
A \in (R^+)^T, wobei A[1]=1.222 (Schreibweise für Zugriff auf das erste
Element des Vektors), T eine natürliche Zahl größer gleich 1, R^+ stellt
die positiven natürlichen Zahlen dar


^^^^^^^^^^^
Meinst du statt "natürlichen" vielleicht "reellen"?

g \in [0,0.1]

Aus diesem Vektor und dem g generiert man nun 3 neue Vektoren, welche
von einem Tupel (\alpha,\beta) abhàngig sind. Diese Vektoren



... die du L, E und B nennen wirst?...

sind auch
aus (R^+)^T und wie folgt definiert:
L[1]=1, E[1]=0.1222,B[1]=0.1

für 1 <= n <= T:
L[n]=L[n-1]e^g+\alpha *
max((A[n]-(L[n-1]e^g+E[n-1]e^g+B[n-1])),0)-max((L[n-1]e^g-A[n]),0)

B[n]=B[n-1]+(1-\alpha-\beta)*max((A[n]-(L[n-1]e^g+E[n-1]e^g+B[n-1])),0)-
max(B[n-1]+L[n-1]e^g+E[n-1]-A[n]),0)+max((L[n-1]e^g+E[n-1]-A[n]),0)

E[n]=A[n]-L[n]-B[n]
-

Nun würde ich gerne zeigen, dass für fixes \beta \in [0,1] folgende
Monotonie gilt:

für \alpha_1 <= \alpha_2 mit \alpha_1,\alpha_2 \in [0,1-\beta] soll
gelten, dass für beliebiges T
L[T](generiert mit \alpha_1) <= L[T](generiert mit \alpha_2)


Auch würde ich gerne eine Monotonie für fixes \alpha \in [0,1] zeigen:

für \beta_1 <= \beta_2 mit \beta_1,\beta_2 \in [0,1-\alpha] gilt
E[T](generiert mit \beta_1) <= E[T](generiert mit \beta_2)


Als Idee hab ich jedenfalls immer den Ansatz über vollstàndige Induktion
benutzt, konnte aber keine geeigneten Abschàtzungen finden.



Ohne mir das jetzt genauer anzugucken, und nur so als Annnregung:
Evtl. funktioniert es, wenn du L[T] als Funktion von \alpha und E[T] als
Funktion von \beta betrachtest. Dann ist L[T](\alpha) nach \alpha und
E[T](\beta) nach \beta differenzierbar. Du kannst also die Ableitungen
L[T]'(\alpha) und E[T]'(\beta) bilden und zu zeigen versuchen, daß diese
im Intervall [0,1] größer 0 sind. Daraus würde die Monotonie folgen.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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