Integral, Ableitung - arctan(x), arcsin(x), ...

11/06/2016 - 14:25 von Walter H. | Report spam
Hallo,

sucht man in Google, findet man sogar mehrfach die Lösung,
daß die 1te Ableitung von arctan(x) die Fkt. 1/(x^2+1) ist;
damit natürlich auch die Umkehrung, daß die Stammfkt. von
1/(x^2+1) der arctan(x) ist;
nur wie leitet man das her?

Danke,
Walter
 

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#1 Oliver Jennrich
11/06/2016 - 15:06 | Warnen spam
"Walter H." writes:

Hallo,

sucht man in Google, findet man sogar mehrfach die Lösung,
daß die 1te Ableitung von arctan(x) die Fkt. 1/(x^2+1) ist;
damit natürlich auch die Umkehrung, daß die Stammfkt. von
1/(x^2+1) der arctan(x) ist;
nur wie leitet man das her?



Über die Ableitungsregel für Umkehrfunktionen. Anschaulich: Der Graph
der Umkehrfunktion (dort wo sie existiert) ist im wesentlichen der Graph
der Originalfunktion, gespiegelt an der Winkelhalbierenden des ersten
Quadranten. Damit ist auch die Tangente an den Punkten
(x,f(x)) und (y,f^-1(y)) gespiegelt (y=f(x)) und für deren Steigungen
m und m' gilt m*m'=1

Also ist f'(x)*f^(-1)'(y)=1 bzw. f^(-1)'(y) = 1/f'(x)

Damit ist also

arctan'(y) = 1/tan'(x)

Und weil tan'(x) = 1/cos^2(x) ist also

arctan'(y) = cos^2(x) = cos^2(arctan(y))

Jetzt muss man noch sehen, dass tan^2 = sin^2/cos^2 = (1-cos^2)/cos^2
ist, und deswegen auch cos^2 = 1/(1+tan^2) gilt.

Also ist

arctan'(y) = 1/(1+tan^2(arctan(y))) = 1/(1+y^2)

Wenn man das formalisieren will, muss man sich noch Gedanken über Definitions-
und Wertebereiche von f und f^(-1) machen.
Space - The final frontier

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