Integralfrage

19/08/2009 - 10:25 von Markus Wichmann | Report spam
Hi all,

ich habe hier eine Funktion gegeben:

f: R->R

x^2 + 3x + 5
f(x) =
2x - 3

Nun steht in der Aufgabe: Berechnen Sie

int(f(x) dx, 1, 2)

(vulgo: Das bestimmte Integral über f(x) dx von 1 bis 2)

Böse Falle: Bei 1,5 ist eine Polstelle. Nun hab ich mir gedacht, dass
gebrochenrationale Funktionen ja immer symmetrisch an der Polstelle
sind. Und in diesem Falle würde mir Punktsymmetrie ganz gut
weiterhelfen, denn:

Sei g(-x) = -g(x), dann ist für alle a: int(g(x) dx, -a, a) = 0

Und wenn g jetzt nicht zum Ursprung, sondern zu einem anderen Punkt
symmetrisch ist, sagen wir dem Punkt (b, c), dann verschieben wir halt:

int((g(x+b) - c) dx, -a, a) = 0

Da die Integrationsgrenzen am Ende ja im x landen, kann man das noch
umformen. So steht an der einen Grenze: g(-a+b) = g(b-a) und an der
anderen g(b+a) im Integranden. Also kann man die beiden Terme in die
Grenzen schreiben, sodass dann dasteht:

int((g(x) - c) dx, b-a, b+a) = 0

Nun fand ich erst im Netz folgende Formel:

Ist die Funktion g zum Punkt P(b|c) symmetrisch, dann gilt

g(b+x) + g(b-x) = 2*c

Na denn, probieren wir das mal mit f. Die soll ja bei der Polstelle
symmetrisch sein, also b = 3/2. Dann folgt:

(3/2+x)^2 + 3(3/2+x) + 5 (3/2-x)^2 + 3 (3/2-x) + 5
+ -
2 (3/2+x) - 3 2 (3/2-x) - 3

9/4 + 3x + x^2 + 9/2 + 3x + 5 9/4 - 3x + x^2 + 9/2 - 3x + 5
= -- + --
3 + 2x - 3 3 - 2x - 3

12x
= (im zweiten Summanden bleibt im Nenner "-2x" stehen. Das Minus
2x vor den Bruch schreiben, schon hat man einen Hauptnenner.)

= 6

-> c = 3

f ist also zum Punkt (3/2, 3) symmetrisch, und damit gilt für alle a:

int((f(x)-3) dx, 3/2-a, 3/2+a) = 0

also insbesondere für a=1/2:

int((f(x)-3) dx, 1, 2) = 0

Die eigentliche Frage (nach 77 Zeilen, ich weiß, ich brauche eine Weile
um zum Punkt zu kommen): Darf ich jetzt die Linearitàt des Integrals
ausnutzen, um obige Gleichung umzustellen, damit dann dasteht:

int(f(x) dx, 1, 2) = int(3 dx, 1, 2) = 3

Und die Frage: Wie wàre das auszuwerten? Ist dann mit "Oberhalb der
x-Achse befinden sich im fraglichen Intervall 4 FE mehr als unterhalb."
zu beantworten?

Tschö,
Markus
GUI - ein Hintergrundbild und zwölf XTerms

vim -c "exec \"norm iwHFG#NABGURE#IVZ#UNPXRE\"|%s/#/ /g|norm g??g~~"
 

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#1 Andre Silaghi
19/08/2009 - 15:35 | Warnen spam
Markus Wichmann schrieb:
Hi all,

ich habe hier eine Funktion gegeben:

f: R->R

x^2 + 3x + 5
f(x) =
2x - 3

Nun steht in der Aufgabe: Berechnen Sie

int(f(x) dx, 1, 2)

(vulgo: Das bestimmte Integral über f(x) dx von 1 bis 2)

Böse Falle: Bei 1,5 ist eine Polstelle. Nun hab ich mir gedacht, dass
gebrochenrationale Funktionen ja immer symmetrisch an der Polstelle
sind. Und in diesem Falle würde mir Punktsymmetrie ganz gut
weiterhelfen, denn:

Sei g(-x) = -g(x), dann ist für alle a: int(g(x) dx, -a, a) = 0

Und wenn g jetzt nicht zum Ursprung, sondern zu einem anderen Punkt
symmetrisch ist, sagen wir dem Punkt (b, c), dann verschieben wir halt:

int((g(x+b) - c) dx, -a, a) = 0

Da die Integrationsgrenzen am Ende ja im x landen, kann man das noch
umformen. So steht an der einen Grenze: g(-a+b) = g(b-a) und an der
anderen g(b+a) im Integranden. Also kann man die beiden Terme in die
Grenzen schreiben, sodass dann dasteht:

int((g(x) - c) dx, b-a, b+a) = 0

Nun fand ich erst im Netz folgende Formel:

Ist die Funktion g zum Punkt P(b|c) symmetrisch, dann gilt

g(b+x) + g(b-x) = 2*c

Na denn, probieren wir das mal mit f. Die soll ja bei der Polstelle
symmetrisch sein, also b = 3/2. Dann folgt:

(3/2+x)^2 + 3(3/2+x) + 5 (3/2-x)^2 + 3 (3/2-x) + 5
+ -
2 (3/2+x) - 3 2 (3/2-x) - 3

9/4 + 3x + x^2 + 9/2 + 3x + 5 9/4 - 3x + x^2 + 9/2 - 3x + 5
= -- + --
3 + 2x - 3 3 - 2x - 3

12x
= (im zweiten Summanden bleibt im Nenner "-2x" stehen. Das Minus
2x vor den Bruch schreiben, schon hat man einen Hauptnenner.)

= 6

-> c = 3

f ist also zum Punkt (3/2, 3) symmetrisch, und damit gilt für alle a:

int((f(x)-3) dx, 3/2-a, 3/2+a) = 0

also insbesondere für a=1/2:

int((f(x)-3) dx, 1, 2) = 0

Die eigentliche Frage (nach 77 Zeilen, ich weiß, ich brauche eine Weile
um zum Punkt zu kommen): Darf ich jetzt die Linearitàt des Integrals
ausnutzen, um obige Gleichung umzustellen, damit dann dasteht:

int(f(x) dx, 1, 2) = int(3 dx, 1, 2) = 3

Und die Frage: Wie wàre das auszuwerten? Ist dann mit "Oberhalb der
x-Achse befinden sich im fraglichen Intervall 4 FE mehr als unterhalb."
zu beantworten?

Tschö,
Markus



also für 3/2 habe ich:

47
8(x-3/2)

hm kommt man da mit dem limes nicht auch einwenig weiter? ich kann mich
erinnern, dass es da mal folgendes gab:

lim (x^2) = 1
x->indef

eventuell hilft dir das, oder du kommst auf etwas neues bzw mehr als ich :)

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