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Integralfunktion - Integrandenfunktion - Symmetriezusammenhänge

03/11/2010 - 20:50 von Aladin1001 | Report spam
Hi,
Habe hier Herleitung, die ich nicht kapiere. Es geht um das Thema im
Betreff.

Definitionen:
[1] Integralfunktion:
I_a(x) = Integral von f(z) dz in den Grenzen a bis x =:
Int(f(z))_a_x
[2] Integrandenfunktion:
f(z)

Fragen
A) Wenn [2] y-Achsensymmetrisch ist (f(z) = f(-z)), welche
Symmetrieeigenschaft hat dann [1]?
B) Wenn [2] Punktsymmetrisch zum Ursprung ist (f(z) = -f(-z)), welche
Symmetrieeigenschaft hat dann [1]?
C) Wenn [1] y-Achsensymmetrisch ist (I_a(x) = I_a(-x)), welche
Symmetrieeigenschaft hat dann [2]?
D) Wenn [2] Punktsymmetrisch zum Ursprung ist (I_a(x) = -I_a(-x)),
welche Symmetrieeigenschaft hat dann [1]?

Antworten:
Erstmal nur A:
A)
f(z) = f(-x)
-> I_a(x) = Int(f(z))_a_x = Int(f(-z))_a_x = -Int(f(z))_-a_-x

Die Integrationsgrenzen haben das Vorzeichen gewechselt. Dann àndert
sich auch das Vorzeichen des Integrals? Und wieso hat sich das
Vorzzeichen des Arguments z von f(z) wieder auf + geàndert?

Gruss,
Alexander
 

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#1 Bastian Erdnuess
03/11/2010 - 22:11 | Warnen spam
Aladin1001 wrote:

Erstmal nur A:
A)
f(z) = f(-x)
-> I_a(x) = Int(f(z))_a_x


[ f(z) = f(-z) ]

= Int(f(-z))_a_x


= int_(z=a)^(z=x) f(-z) dz
[ Substitution: t = -z -> z = -t -> dz = -dt ]

= int_(t=-z=-a)^(t=-z=-x) f(t) (-dt) = - int_(t=-a)^(t=-x) f(t) dt
[ Umbenennung: z = t ]

= - int(z=-a)^(z=-x) f(z) dz
= -Int(f(z))_-a_-x

Die Integrationsgrenzen haben das Vorzeichen gewechselt. Dann àndert
sich auch das Vorzeichen des Integrals? Und wieso hat sich das
Vorzzeichen des Arguments z von f(z) wieder auf + geàndert?

Gruss,
Alexander

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