Integration in Mückenhausen

22/08/2010 - 08:27 von Jürgen R. | Report spam
Im Hauptwerk des Herrn Mückenheim,
"Mathematik für die ersten Semester", Oldenbourg 2009,
wird auf auf Seite 257 das Integral folgendermaßen
eingeführt:

"Gegeben sei die Funktion f(x) = x^2. Gesucht ist die Flàche
unter dem rechten Ast der Parabel auf dem Intervall [0,x].
Nehmen wir die Flàche F(x) vorerst als gegeben an {{dazu
eine Abbildung, aus der man mit etwas Phantasie erkennen kann,
dass mit F(x) die Flàche unter der Kurve gemeint ist}}
und fragen lediglich nach ihrer
Änderung, wenn x um Delta{x} vergrößert wird. Der Zuwachs
kann durch f(x)*Delta{x} approximiert werden. Diese Nàherung
ist umso genauer, je kleiner Delta{x} ist, und wird im
Grenzfall Delta{x} -> 0 exakt." {{Frage: wieviele
verschiedene Bedeutungen hat x in diesem Absatz? 3 oder nur 2?}}

Und nun kommt der entscheidende Schritt, der schon von Franz
Lemmermeyer kritisiert wurde:

"Also gilt {{'Also' bezieht sich auf obiges Zitat}}

(1) lim_{Delta{x}->0} F(x + Delta{x}) lim_{Delta{x}->0} [F(x) + f(x)*Delta{x}]

(2) f(x) = lim_{Delta{x}->0} [F(x + Delta{x}) - F(x)}/Delta{x}] dF(x)/dx = F'(x).

f(x) = F'(x) ist demnach die Ableitung der Funktion F(x)."

Nun gilt (1) immer, sofern F(x) stetig ist und f(x) beschrànkt.
Es folgt daraus keinerlei Zusammenhang zwischen f und F.

Es ist unklar durch welche Manipulation M. meint (2) aus
(1) herleiten zu können - klar ist, dass jede solche
Herleitung falsch wàre. Daher ìst (2) ganz einfach die
unmotivierte Behauptung, dass f = F'. Der entscheidende Punkt,
dass nàmlich Delta{F(x)} - f(x)Delta{x} von
höherer Ordnung klein wird als Delta(x), wird unterschlagen.
 

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#1 Thomas Plehn
22/08/2010 - 13:56 | Warnen spam
Am 22.08.2010 08:27, schrieb Jürgen R.:

Und nun kommt der entscheidende Schritt, der schon von Franz
Lemmermeyer kritisiert wurde:

"Also gilt {{'Also' bezieht sich auf obiges Zitat}}

(1) lim_{Delta{x}->0} F(x + Delta{x}) > lim_{Delta{x}->0} [F(x) + f(x)*Delta{x}]

(2) f(x) = lim_{Delta{x}->0} [F(x + Delta{x}) - F(x)}/Delta{x}] > dF(x)/dx = F'(x).

f(x) = F'(x) ist demnach die Ableitung der Funktion F(x)."




so hat man es uns seinerzeit in der Schule aber auch "bewiesen", es ist
aber klar, dass für Fachbücher andere Standards gelten...

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