Integration nach regelhafter Vorgehensweise

06/12/2008 - 23:37 von ram | Report spam
»[I]n Mathematica symbolic integration is performed
by a fairly small number of very systematic procedures.
For indefinite integration, the idea of these procedures
is to find the most general form of the integral, then
to differentiate this and try to match up undetermined
coefficients.«

http://reference.wolfram.com/mathem...atica.html

Das verstehe ich nicht: Wenn ich ein Integral ableite, dann
habe ich ja erst einmal nur die Ableitung des Integrals.
Gesucht ist doch wohl ein »geschlossener Ausdruck« für das
Integral mit möglichst bekannten Funktionen und Operatoren.

Kann vielleicht jemand ein einfaches Beispiel für das
oben zitierte Verfahren vorführen?
 

Lesen sie die antworten

#1 Christopher Creutzig
01/01/2009 - 13:25 | Warnen spam
(Weil's schon lànger her ist, full-quote)

Stefan Ram wrote:

»[I]n Mathematica symbolic integration is performed
by a fairly small number of very systematic procedures.
For indefinite integration, the idea of these procedures
is to find the most general form of the integral, then
to differentiate this and try to match up undetermined
coefficients.«

http://reference.wolfram.com/mathem...atica.html

Das verstehe ich nicht: Wenn ich ein Integral ableite, dann
habe ich ja erst einmal nur die Ableitung des Integrals.
Gesucht ist doch wohl ein »geschlossener Ausdruck« für das
Integral mit möglichst bekannten Funktionen und Operatoren.

Kann vielleicht jemand ein einfaches Beispiel für das
oben zitierte Verfahren vorführen?



Der Klassiker in diesem Bereich dürfte der Risch-Norman-Algorithmus
sein, auch bekannt als “parallel integration”. Dafür benutzt man den
Satz von Liouville, der besagt, dass ein f in einem Differentialkörper k
(also ein rationaler Ausdruck in mehreren Unbestimmten, die durchaus
komplizierte Ableitungen haben dürfen, wie t'=1/x, womit t das ln(x) aus
der Analysis repràsentiert) nur dann eine Anti-Ableitung in einer
liouvillschen Erweiterung von k haben kann, wenn diese Erweiterung
(einmal als minimale Erweiterung vorausgesetzt, die für die
Anti-Ableitung nötig ist) nur bestimmte über k logarithmische Elemente
hinzunimmt und dann gilt

f = v' + sum(c_i*l_i)'

wobei c_i Konstanden sind (also Ableitung = 0), v in k, und die l_i sind
logarithmisch über k, also ex. v_i so dass (l_i)'=(v_i)'/v_i. Die in
Frage kommenden v_i ergeben sich aus der quadratfreien Zerlegung des
Nenners von f.

Der Risch-Norman-Algorithmus macht nun einen Ansatz für v, wobei für
die Gradschranken für Zàhler und Nenner meines Wissens nur Heuristiken
bekannt sind. Damit ist eine allgemeine Form gefunden, die einen
Riesenhaufen freier Parameter enthàlt. Diese wird differenziert, die
Differenz der beiden Seiten der Gleichung auf einen Hauptnenner gebracht
und aus den Koeffizienten des Zàhlers (der ja 0 sein muss) ergibt sich
ein polynomielles Gleichungssystem. Jede Lösung dieses
Gleichungssystems, für die v definiert ist, löst das Integrationsproblem.

Beispiel (mit großzügig gewàhlten Gradschranken)
=
1 1 ln(x) + 1
f = -- + -
x + 1 x (x + 1) 2
(x + 1)

l = ln(x + 1)

2 2
a[0] x + a[1] x ln(x) + a[3] x + a[2] ln(x) + a[4] ln(x) + a[5]
v = --
ln(x) a[7] + x a[6] + a[8]


Ableitung des Ansatzes:
a[4] 2 ln(x) a[2]
ln(x) a[1] + 2 x a[0] + a[1] + a[3] + - +
x x c
+ -- -
ln(x) a[7] + x a[6] + a[8] x + 1

/ / a[7] \ 2 2
| | a[6] + - | (a[0] x + a[1] x ln(x) + a[3] x + a[2] ln(x) +
\ \ x /

\ 2
a[4] ln(x) + a[5]) | / (ln(x) a[7] + x a[6] + a[8])
/

Koeffizienten des Zàhlers der Differenz:

2
a[0] a[6], 2 a[0] a[7], 2 a[0] a[6] - a[6] - a[0] a[7] + a[1] a[6] +

2
2 a[0] a[8] + c a[6] , a[1] a[7] - a[2] a[6],

2
a[6] + 4 a[0] a[7] + 2 a[2] a[6] + a[1] a[8] + a[3] a[7] -

a[4] a[6] - 2 a[6] a[7] + 2 c a[6] a[7],

2
a[0] a[6] - a[6] - 2 a[0] a[7] + 2 a[1] a[6] + 4 a[0] a[8] +

a[1] a[8] - a[3] a[7] + a[4] a[6] + a[3] a[8] - a[5] a[6] -

2
2 a[6] a[8] + c a[6] + 2 c a[6] a[8],

2
2 a[1] a[7] - a[7] - 2 a[2] a[6] + a[2] a[7] + 2 a[6] a[7] +

2
c a[7] , 2 a[0] a[7] + 4 a[2] a[6] + 2 a[1] a[8] + 2 a[2] a[8] +

2 a[3] a[7] - 2 a[4] a[6] - 2 a[6] a[7] + 2 a[6] a[8] -

2 a[7] a[8] + 2 c a[6] a[7] + 2 c a[7] a[8],

2 2
a[1] a[6] - a[8] - a[0] a[7] - a[6] + 2 a[0] a[8] +

2 a[1] a[8] - 2 a[3] a[7] + 2 a[4] a[6] + 2 a[3] a[8] -

2
2 a[5] a[6] + a[4] a[8] - a[5] a[7] - 2 a[6] a[8] + c a[8] +

2 2
2 c a[6] a[8], a[7] , a[1] a[7] - a[7] - a[2] a[6] +

2
2 a[2] a[7] + 2 a[7] a[8] + c a[7] ,

2
a[8] + 2 a[2] a[6] + a[1] a[8] + 4 a[2] a[8] + a[3] a[7] -

a[4] a[6] - 2 a[6] a[7] - 2 a[7] a[8] + 2 c a[7] a[8],

2
a[1] a[8] - a[8] - a[3] a[7] + a[4] a[6] + a[3] a[8] -

2
a[5] a[6] + 2 a[4] a[8] - 2 a[5] a[7] - 2 a[6] a[8] + c a[8] ,

2
a[2] a[7] - a[7] , 2 a[2] a[8] - 2 a[7] a[8],

2
- a[8] + a[4] a[8] - a[5] a[7]

MuPAD findet 18 (parametrisierte) Lösungen dieses Gleichungssystems, von
denen aber 17 den Nenner von v zu 0 werden lassen, also nicht in Frage
kommen. Verbleibt

[c = 1, a[0] = 0, a[1] = 0, a[2] = 0, a[3] = z1 - z, a[4] = z,

a[5] = z1, a[6] = z, a[7] = 0, a[8] = z]

für Konstanten z, z1. Das liefert

z1 - x (z - z1) + z ln(x)
ln(x + 1) + -
z + x z

als Stammfunktion. Und in der Tat, z <> 0 ist die einzige Forderung, die
wir hier noch stellen müssen. Wir können also ohne Weiteres z=1, z1=0
einsetzen und erhalten

/
| 1 1 ln(x) + 1 x - ln(x)
| -- + - dx = ln(x + 1) -
/ x + 1 x (x + 1) 2 x + 1
(x + 1)

Oder auch z=1, z1=1:

/
| 1 1 ln(x) + 1 ln(x) + 1
| -- + - dx = ln(x + 1) +
/ x + 1 x (x + 1) 2 x + 1
(x + 1)

seit wann sind Vertragsinhalte für NewsGroup-Frager relevant?


Sie sind lebensnotwendig um sie sofort auf überraschende Inhalte
abzuklopfen oder sonst in Frage zu stellen.
(Kurt Gunter und Konrad Wilhelm in dsrm)

Ähnliche fragen