Interpolationspolynom

11/03/2013 - 12:16 von Ernst Sauer | Report spam
Hallo zusammen,

Für gegebene Datenpunkte (xo,yo), (x1,y1)... (xn,yn)
kann man die Lagrangesche Interpolationsformel nehmen und so das
Interpolationspolynom finden.

Ich hàtte dieses Polynom aber gerne in der Form
f(x) = a + b*x +c*x² …

Für a, b, c, ... kann ich natürlich ein Gleichungssystem aufstellen,
aber gibt es vielleicht auch eine andere Lösung, analog oben.

Für n=2 habe ich mir folgende Lösung hergeleitet:

N=(x3-x1)*(x3-x2)*(x2-x1);

b=((y2-y1)*(x3²-x1²)-(y3-y1)*(x2²-x1²))/N;
c=((y3-y1)*(x2 -x1 )-(y2-y1)*(x3 -x1 ))/N;

a=y1-b*x1-c*x1²;

Kann man diese Formel verallgemeinern, vor allem der
Ausdruck für N legt dies ja nahe.

Gruß
E.S.
 

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#1 Christopher Creutzig
11/03/2013 - 21:24 | Warnen spam
On 3/11/13 12:16 PM, Ernst Sauer wrote:
Hallo zusammen,

Für gegebene Datenpunkte (xo,yo), (x1,y1)... (xn,yn)
kann man die Lagrangesche Interpolationsformel nehmen und so das
Interpolationspolynom finden.

Ich hàtte dieses Polynom aber gerne in der Form
f(x) = a + b*x +c*x² …

Kann man diese Formel verallgemeinern, vor allem der
Ausdruck für N legt dies ja nahe.



Das wird sicherlich möglich sein, und da das Interpolationspolynom vom
Grad n durch n+1 Punkte eindeutig bestimmt ist, wird es zum gleichen
Ergebnis führen wie die anderen Schreibweisen des Interpolationspolynoms.

Nur: Wozu? Für die numerische Auswertung ist die expandierte Form
vermutlich eine der ungeschickteren Wahlen (die baryzentrische Form
bietet sich eher an), sonderlich kompakt ist die Darstellung auch nicht
gerade und die innere Struktur geht völlig unter. Selbst wenn man die
expandierte Form aus irgendeinem Grund haben will, kann man sie aus den
anderen Formen für gegebene x[i] vermutlich schneller berechnen als mit
irgendeiner Form, die die Koeffizienten einzeln ganz allgemein beschreibt.

Wer nicht kann, was er will, muß das wollen, was er kann.
Denn das zu wollen, was er nicht kann, wàre töricht.
(Leonardo da Vinci)

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