Interpretation Störungstheorie

27/07/2008 - 11:10 von Ralph Kube | Report spam
Hi Leute,
ich hab mal ne Frage zur Störungstheorie in der QM.
Der Ansatz ist ja, die Eigen-vektoren/werte des gestörten
Hamiltonoperators aus der ungestörten Lösung zu berechnen. Dafür
entwickelt man die gestörte Lösung in Potenzen vom kleinen Parameter
\lambda, also so:

H(\lambda) \Psi(\lambda) = E \Psi(\lambda)

mit
H(\lambda) = H_0 + \lambda W
\Psi(\lambda) = \sum_q \lambda^q |q> und
E(\lambda) = \sum_q \lambda^q \epsilon_q

Wie kommt man auf diesen Ansatz mit der Potenzreihe nach Lambda?
Das ist ja keine Taylorreihe, sondern erstmal nur ein willkürlicher
Ansatz einer Potenzreihe.
Da Lambda klein ist, hat ja jede Potenz eine der Reihen eine eigene
Größenordnung, numerisch sowas wie z.B. q=0 -> 10^0, q=1 -> 10^-1, ...
Bedeutet dass dann, das wenn ich jetzt meine Potenzreihe bis q=2
ausgerechnet habe und dass höhere Terme der Störungsentwicklung nur noch
viel kleine Änderungen der Größenordnung beitragen?

Vielen Dank für jeden Input.
Gruß, Ralph
 

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#1 Oliver Kaleske
11/08/2008 - 18:50 | Warnen spam
Hallo Ralph,

Der Ansatz ist ja, die Eigen-vektoren/werte des gestörten
Hamiltonoperators aus der ungestörten Lösung zu berechnen. Dafà¼r
entwickelt man die gestörte Lösung in Potenzen vom kleinen Parameter
\lambda, also so:



Zun"achst zur Beseitigung eines Mi"sverst"andnisses: \lambda mu"s nicht
notwendigerweise klein sein. Das p"adagogische \lambda wird eigentlich nur
eingef"uhrt, um in den Rechnungen zur Herleitung von Formeln f"ur die
Korrekturen die Potenzen bzw. Ordnungen korrekt zuordnen zu k"onnen - das
jeweils vorliegende Problem kann aber auch als H_0 + W (ohne irgendein
\lambda) formuliert sein. Dann mu"s W selbst klein gegen H_0 sein - wobei
die Relation 'klein gegen' f"ur Operatoren nicht ganz so einfach ist.

Wenn das Problem H_0 + W selbst keinen Parameter hergibt, der sich zum
Entwickeln anbietet (klein, dimensionslos), kann man auch einfach ein frei
hinzugedichtetes \lambda vor den als St"orung aufgefa"sten Term schreiben
und bei der Auswertung wieder \lambda = 1 setzen.

Aber gehen wir mal davon aus, da"s H_0 und W vergleichbar sind (mit den
gleichen Schwierigkeiten wie bei 'klein gegen') und \lambda klein ist.

Anstelle der etwas holprigen Notation schreibe ich die Gleichungen so:

H\ket{n} = E_n\ket{n}
H = H_0 + \lambda W
\ket {n} = \sum_i \lambda^i \ket{n^{(i)}}
E_n^i = \sum_i \lambda^i E_n^i

Der Index n (im Bauch der kets bzw. unten bei den E's) numeriert die
Zust"ande (oBdA diskret und ohne Entartung), der Index i in Klammern (zur
Abgrenzung von einer Potenz) die Ordnung in der St"orungsrechnung. Die
Zust"ande \ket{n^{(0)} und Energien E_n^0 sind die 'ungest"orten'
Eigenzust"ande von H_0 (das ist klar mit \lambda = 0).

Wie kommt man auf diesen Ansatz mit der Potenzreihe nach Lambda?
Das ist ja keine Taylorreihe, sondern erstmal nur ein willkà¼rlicher
Ansatz einer Potenzreihe.



Angenommen, man k"onnte eine explizite Gestalt f"ur die \ket{n} exakt
angeben, dann w"aren diese manifest von \lambda abh"angig. Bilde die
Ableitungen (ergibt nat"urlich ebenfalls ket-Vektoren) und Du hast eine
Taylorreihe. Der Haken an der Sache ist, da"s es in den allermeisten
F"allen nicht m"oglich ist, die \ket{n} explizit anzugeben - deswegen ja
die St"orungsrechnung.

Mit dem gel"osten Problem zu H_0 steht ein VONS zur Verf"ugung, nach dem die
Eigenzust"ande von H entwickelt werden k"onnen:
\ket{n} = \sum_m \ket{m^{(0)}} \braket{m^{(0)}}{n}
Da die \ket{n} unbekannt sind, hilft diese Gleichung hier nat"urlich wenig.
Also ist ein expliziter Ansatz n"otig, der eine Vorschrift zur Bestimmung
seiner Koeffizienten liefert.

Der Potenzreihenansatz ist imo vollkommen nat"urlich: das ist so ziemlich
der allgemeinste und einfachste Ansatz, der f"ur \lambda = 0 das
ungest"orte Problem reproduziert. Ich verstehe daher die Frage nicht ganz.

Da Lambda klein ist, hat ja jede Potenz eine der Reihen eine eigene
GröàŸenordnung, numerisch sowas wie z.B. q=0 -> 10^0, q=1 -> 10^-1, ...
Bedeutet dass dann, das wenn ich jetzt meine Potenzreihe bis q=2
ausgerechnet habe und dass höhere Terme der Störungsentwicklung nur noch
viel kleine à„nderungen der GröàŸenordnung beitragen?



Das ist zumindest der Gedanke dabei. In der Praxis sind St"orungsreihen aber
in aller Regel nicht konvergent, sondern nur asymptotisch, d.h. in h"oheren
Ordnungen explodiert die Reihe dann doch. Es gibt aber schlaue S"atze aus
der Mathematik, nach denen die ersten Partialsummen unter bestimmten
Voraussetzungen doch als N"aherung zu gebrauchen sind. Im Vertrauen auf
diese Voraussetzungen bricht man die Reihe dann meistens nach den ersten
paar Gliedern ab und benutzt das so erhaltene Ergebnis. Und tats"achlich
zeigt auch eine asymptotische Reihe in niedrigen Ordnungen typischerweise
das erw"unschte Verhalten: die Glieder werden schnell kleiner.

hth

Oliver

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