Interpretation von Eigenvektoren

03/06/2010 - 18:58 von Frank | Report spam
Hallo,

ich hoffe, dass meine folgende Frage zumindest halbwegs verstàndlich ist.

Ich möchte z.B. ein System von Punktmassen betrachten, die z.B. mit
Federn verbunden sind. Beschreibe ich die Auslenkungen der Massen etwa
mit einem Vektor x und den Antrieb durch einen Vektor v, kann folgendes
Gleichungssystem aufgestellt werden

Mx=v

mit einer Kopplungsmatrix M, die nicht zwangslàufig nur nàchste
Nachbarwechselwirkungen enthalten soll.

Hàngt die Kopplung jetzt von einem externen Parameter z.B. der Frequenz
des Antriebs f ab, kann ich die Normalmoden des Systems durch Bestimmen
der i.A. komplexen Nullstellen fn von

det(M(fn))=0

bestimmen. Zu jedem fn gibt es dann eine nicht triviale (nur bis auf
Skalierung bestimmte) Normalmode xn, die die Gleichung

M(fn)xn=0

erfüllt. Die Bedeutung dieser Normalmoden ist mir klar.

Betrachte ich jetzt das System aber bei einem fest vorgegeben reellen
f0, kann ich ja einfach die Eigenvektoren von M(f0) berechnen.

Ich würde jetzt erwarten, dass diese Eigenvektoren in einem Zusammenhang
mit den Normalmoden xn stehen.

Gibt es einen derartigen Zusammenhang?

Vielen Dank im Voraus
Frank
 

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#1 Roland Franzius
03/06/2010 - 19:15 | Warnen spam
Frank schrieb:
Hallo,

ich hoffe, dass meine folgende Frage zumindest halbwegs verstàndlich ist.

Ich möchte z.B. ein System von Punktmassen betrachten, die z.B. mit
Federn verbunden sind. Beschreibe ich die Auslenkungen der Massen etwa
mit einem Vektor x und den Antrieb durch einen Vektor v, kann folgendes
Gleichungssystem aufgestellt werden

Mx=v

mit einer Kopplungsmatrix M, die nicht zwangslàufig nur nàchste
Nachbarwechselwirkungen enthalten soll.

Hàngt die Kopplung jetzt von einem externen Parameter z.B. der Frequenz
des Antriebs f ab, kann ich die Normalmoden des Systems durch Bestimmen
der i.A. komplexen Nullstellen fn von

det(M(fn))=0

bestimmen. Zu jedem fn gibt es dann eine nicht triviale (nur bis auf
Skalierung bestimmte) Normalmode xn, die die Gleichung

M(fn)xn=0

erfüllt. Die Bedeutung dieser Normalmoden ist mir klar.

Betrachte ich jetzt das System aber bei einem fest vorgegeben reellen
f0, kann ich ja einfach die Eigenvektoren von M(f0) berechnen.

Ich würde jetzt erwarten, dass diese Eigenvektoren in einem Zusammenhang
mit den Normalmoden xn stehen.

Gibt es einen derartigen Zusammenhang?



Klingt nicht so, als hàttest du das verstanden.

Die Normalmoden sind die Eigenvektoren, meist nach Separationsansatz mit
haronischer Zeitabhàngigkeit für linear gekoppelte Systeme.

d_t^2 e^i omega_k t f_k = M e^i omega_k t f_k

(M+omega_k^2) f_k = 0

Das ist eine Eigenwert/Vektorengleichung für M. Die Eigenwerte -omega^2
bekomt man als komplexe Nullstellen lambda_k des charakteristischen
Polynoms

det (M-lambda ) = 0

Dann kann man sich für jedes gefundene omega_k auf die Suche nach dem
Eigenvektor

(M + omega_k^2) f_k = 0

Die Matrix der passend ortonormierten Eigenvektoren diagonalisiert M. Dh
in dieser Basis schwingt jeder Richtung f_k mit ihrer charakteristischen
Eigenfrequenz omega_k unabhàngig, zur Not auch ganz allein, von allen
anderen Schwingungsmoden, die im Sinn der benutzten Metrik in der
kinetischen Energie alle orthogonal zueinander sind oder bei
Eigenwert/Frequenzentartung gewàhlt werden können.


Roland Franzius

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