Intervallschachtelung und Cantor-Staub

16/09/2007 - 14:33 von Albrecht | Report spam
Hallo Mathe-Freunde,


die rationalen Zahlen können bekanntlich durch das
Intervallschachtelungsprinzip auf die reellen Zahlen erweitert werden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung

Diesem Verfahren liegt der Umstand zu Grunde, dass die Schnittmenge
einer unendlichen Intervallschachtelung genau eine Punkt enthàlt.

Nun kann man in der Konstruktion des Cantor-Staubs auch
Intervallschachtelungen erkennen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge


Nehmen wir z.B. die Intervallschachtelung
[0,1]
[0,1/3]
[2/9,3/9]
[8/27,9/27]
...
die in der Konstruktion der Cantor-Menge auftritt.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip enthàlt diese
Intervallschachtelung genau einen Punkt.
Nun wird aber im Wikipedia-Artikel erklàrt, dass die Cantor-Menge aus
mehr als nur den Randpunkten der entfernten Intervallen besteht.

Ich sehe darin einen Widerspruch.
Wie ist das zu erklàren?

Gruß
Albrecht
 

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#1 Wilhelm Sternemann
16/09/2007 - 16:37 | Warnen spam
"Albrecht" schrieb

Hallo Mathe-Freunde,

die rationalen Zahlen können bekanntlich durch das
Intervallschachtelungsprinzip auf die reellen Zahlen erweitert werden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung

Diesem Verfahren liegt der Umstand zu Grunde, dass die Schnittmenge
einer unendlichen Intervallschachtelung genau eine Punkt enthàlt.

Nun kann man in der Konstruktion des Cantor-Staubs auch
Intervallschachtelungen erkennen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge


Nehmen wir z.B. die Intervallschachtelung
[0,1]
[0,1/3]
[2/9,3/9]
[8/27,9/27]
...
die in der Konstruktion der Cantor-Menge auftritt.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip enthàlt diese
Intervallschachtelung genau einen Punkt.
Nun wird aber im Wikipedia-Artikel erklàrt, dass die Cantor-Menge aus
mehr als nur den Randpunkten der entfernten Intervallen besteht.

Ich sehe darin einen Widerspruch.
Wie ist das zu erklàren?

Antwort W. Sternemann:
?????????
Wo soll da ein Widerspruch sein? Worauf willst du hinaus? Hoffentlich nicht
auf die alten Mühlen.

Die Intervallschachtelung benennt einen der abzàhlbar vielen Randpunkte der
Cantormenge.
Wenn ein Randpunkt benannt/beschrieben wird, dann bleiben alle anderen
Punkte unangetastet. Auch die überabzàhlbar vielen, die in jeder Umgebung
von diesem Randpunkt liegen.
Gruß!
Wilhelm Sternemann

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