Inverse Stetigkeit

08/11/2012 - 17:57 von Michael | Report spam
Hallo zusammen,

ich bin Physiker, bin jedoch auf ein sehr mathematisches Problem gestoßen. Ich vermute, dass dieses Problem bereits in der Mathematik bekannt ist, konnte es jedoch bisher nicht finden. Für Tipps wàre ich sehr dankbar.

Hier ist das Problem:
Gegeben ist ein metrischer Raum mit einer beschrànkten Menge D. Auf dieser Menge ist eine stetige Funktion definiert, mit Wertebereich zwischen 0 und 1.

Ich möchte folgende Aussage beweisen:
Sei C eine Untermenge von D, sodass f(c)=0 für alle c aus C, und f(x)>0 für alle x, die nicht in C sind. Dann gilt:
Für alle e>0 gibt es ein d>0 sodass für alle x aus D mit f(x) <= d gilt: d(x,C) <= e.

Ich wàre dankbar für einen Tip, ob die Aussage schon irgendwo bewiesen wurde, oder eine einfache Konsequenz eines bekannten Satzes ist.

mfg
Michael
 

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#1 Hans CraueI
08/11/2012 - 20:00 | Warnen spam
Michael [wer?] schrieb [Zeilenlaenge angepasst]

Gegeben ist ein metrischer Raum mit einer beschrànkten Menge D. Auf
dieser Menge ist eine stetige Funktion definiert, mit Wertebereich
zwischen 0 und 1.
Ich möchte folgende Aussage beweisen:
Sei C eine Untermenge von D, sodass f(c)=0 für alle c aus C, und
f(x)>0 für alle x, die nicht in C sind. Dann gilt:
Für alle e>0 gibt es ein d>0 sodass für alle x aus D mit
f(x) <= d gilt: d(x,C) <= e.



Die Aussage ist falsch: Betrachte den metrischen Raum [0,infty) mit
der Metrik d/(1+d), d die euklidische Metrik, und setze D = [0,infty).
Durch die Wahl der Metrik ist D beschraenkt.
Definiere die Funktion f durch f(x) = x exp(-x). Dann ist
C = f^(-1){0} = {0}, aber f(x) wird fuer x gross beliebig klein,
wohingegen d(x,C) beliebig gross wird.
Wenn dich die Wahl der Metrik stoeren sollte: Man kann durch einen
Homeomorphismus zwischen [0,infty) und [0,1) die obige Funktion zu
einer auf D = [0,1) definierten stetigen Funktion mit den gleichen
Eigenschaften transformieren.
Es gibt natuerlich hunderte, wenn nicht gar tausende, derartiger
Funktionen.

Sofern du D als kompakt annehmen wuerdest, saehe es anders aus.
Wenn die Aussage dann nicht zutraefe, so gaebe es ein eps > 0, so
dass fuer jedes delta > 0 gilt: Es gibt ein x in D mit f(x) < delta
und d(x,C) geq eps. Waehle zu n in N ein x_n in D mit f(x_n) < 1/n
und d(x_n,C) geq eps. Wegen D kompakt hat (x_n) eine wieder als
(x_n) bezeichnete konvergente Teilfolge, fuer deren Grenzwert x
gilt (unter Benutzung von f stetig und f(x_n) < 1/n):
f(x) = f(lim x_n) = lim f(x_n) = 0, also x in f^(-1){0} = C.
Andererseits ist (unter Benutzung von z -> d(z,C) stetig)
d(x,C) geq eps > 0, also x notin C: Widerspruch.

Hans CraueI

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