Inverses diophatisches - wenn's noch nicht nervt!

14/06/2010 - 15:26 von neubert | Report spam
Moin moin,

(noch) ohne Beweis:

Sei A*X = 1 (o.B.d.A) mit A= (a, b, c, ...) und X= (x, y, z, ...)
Vektoren des R^n und es gelte: ggT(a,b,c,...)= 1,

Hat man dann eine spezielle Lösung X0, so daß A*X0= 1
und n-1 lin. unabh. Vektoren U, V, W, .., jeweils U*A= 0, ...,
und gilt für das n-1 dimensionale Volumen P(U,V,W,...)
des von U, V, W, ... aufgespannten Parallelepipets
P(U,V,W,...) = | A | , dann ist - mit u,v,w ganze Zahlen -
X= X0 + uU +vV +wW, ...
die allg. Lösung der diohpantischen Gleichung A*X = 1.

Umgekehrt:

Hat man n-1 lin. unabh. Vektoren U, V, W, ... des R^n,
deren Komponenten jeweils (je Vektor) teilerfremd sind,
so gibt es einen Vektor A des R^n dessen Betrag gleich dem
des von U, V, W, ... aufgespannten Parallelepipets ist,
und der senkrecht auf den Vektorn U, V, W, ... steht.

??? Wenn's denn stimmt!?

Gruß - Siggi N.
 

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#1 Jutta Gut
14/06/2010 - 17:52 | Warnen spam
schrieb
Moin moin,

(noch) ohne Beweis:

Sei A*X = 1 (o.B.d.A) mit A= (a, b, c, ...) und X= (x, y, z, ...)
Vektoren des R^n und es gelte: ggT(a,b,c,...)= 1,

Hat man dann eine spezielle Lösung X0, so daß A*X0= 1
und n-1 lin. unabh. Vektoren U, V, W, .., jeweils U*A= 0, ...,
und gilt für das n-1 dimensionale Volumen P(U,V,W,...)
des von U, V, W, ... aufgespannten Parallelepipets
P(U,V,W,...) = | A | , dann ist - mit u,v,w ganze Zahlen -
X= X0 + uU +vV +wW, ...
die allg. Lösung der diohpantischen Gleichung A*X = 1.

Umgekehrt:

Hat man n-1 lin. unabh. Vektoren U, V, W, ... des R^n,
deren Komponenten jeweils (je Vektor) teilerfremd sind,
so gibt es einen Vektor A des R^n dessen Betrag gleich dem
des von U, V, W, ... aufgespannten Parallelepipets ist,
und der senkrecht auf den Vektorn U, V, W, ... steht.

??? Wenn's denn stimmt!?




Hat das Wolfgang nicht bewiesen? Jedenfalls hat er gezeigt, wie man mit dem
verallgemeinerten Kreuzprodukt einen solchen Vektor A finden kann, der auf
U, V, W ...
normal steht und dessen Betrag gleich |A| ist.

Ich wiederhole mal kurz:
Die Vektoren U, V, ... bilden eine n*(n-1)-Matrix. Sei D_i die Determinante
der (n-1)*(n-1)-Matrix, die man erhàlt, wenn man die i-te Zeile streicht.
Dann ist
A = (D_1, -D_2, D_3, ...)

Ich habe das Folgende zwar noch nicht bewiesen (und weiß nicht genau, ob es
in Wolfgangs Beweis erwàhnt wurde), aber ich bin ziemlich sicher, dass man
auf diese Art (Koordinaten von A teilerfremd) alle Lösungen erhàlt. Denn
wenn das aufgespannte Parrallelepiped noch Gitterpunkte enthielte, wàre es
kein Fundamentalbereich des Gitters, und man könnte es durch ein kleineres
ersetzen. Dann könnte man aber A durch einen gemeinsamen Teiler kürzen.

lg Jutta

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