Irrationale Zahlen in der Cantor-Menge

20/02/2009 - 10:04 von Jan Fricke | Report spam
Hallo NG,
mir ist aufgefallen, dass ich gar keine irrationale Zahl in der
"Standard-Cantor-Menge" kenne. Nun ja, die triadische Zahl
x=0,202002000200002...
ist eine irrationale Zahl der Cantor-Menge, aber die triadische
Entwicklung ist ja letztendlich nur eine unendliche Reihe, somit habe
ich x "nur" analytisch beschrieben. Deshalb meine Frage:

Welche irrationale Zahl gehört zur Cantor-Menge?

Und noch etwas genauer nachgefragt:

Ist jede algebraische Zahl der Cantor-Menge rational?


Viele Grüße Jan
 

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#1 Rainer Rosenthal
20/02/2009 - 23:21 | Warnen spam
Jan Fricke schrieb:
Hallo NG,
mir ist aufgefallen, dass ich gar keine irrationale Zahl in der
"Standard-Cantor-Menge" kenne. Nun ja, die triadische Zahl
x=0,202002000200002...
ist eine irrationale Zahl der Cantor-Menge, aber die triadische
Entwicklung ist ja letztendlich nur eine unendliche Reihe, somit habe
ich x "nur" analytisch beschrieben. Deshalb meine Frage:

Welche irrationale Zahl gehört zur Cantor-Menge?

Und noch etwas genauer nachgefragt:

Ist jede algebraische Zahl der Cantor-Menge rational?




Schöne Fragen, die zusammen mit dem Beweis von Ulrich Lange auf
interessante Antworten hoffen lassen.
Beispielsweise wissen wir, dass sqrt2(2)/2 = 0.707106781186550
in die Staubsummanden 0.670375016972551 und 0.0367317640755959
zerfàllt. (Berechnet mit der uli()-Kanone, meiner Maple-Version
von Ulrich Langes Staub-Algorithmus(R).)

Da sqrt(2)/2 irrational ist, können nicht beide Staubsummanden
rational sein. Voilà - damit ist schon mal klar, dass es im
Cantor-Staub sehr irrational zugeht. Ist ja auch logo, wo soll
denn sonst die Überabzàhlbarkeit herkommen? Wahrscheinlich zàhlen
diese künstlich hergestellten Isotope (Zerfallsprodukte von
sqrt(2)/2 unter Beschuss durch die uli()-Kanone) nicht zu den
rationalen Zahlen, nach denen Du fragst. Es soll was Handfestes
wie sqrt(Pi) sein, aber das wird wohl noch ein Weilchen brauchen,
bis wir so etwas haben.

Einstweilen kann ich ja mal Plouffe's Inverter fragen, was er zu der
obigen Zerlegung zu sagen hat. Demnach ist der erste Summand fast gleich
1/GAMMA(17/24)/Magata^2*ln(exp(1)) und der zweite nahe 1279/34820.
Aber ... dicht daneben ist auch vorbei ;-)

Ich bin ganz happy, dass ich die uli()-Kanone habe, denn nun kann
ich mal sehen, ob ich eine OEIS-Folge basteln kann, bestehend aus
all den Werten n, für die 1/n staubig ist.

Staubig sind: 1/1 = 0.[2], 1/3 = 0.0[2], 1/4 = 0.[02] (Basis 3) und
einige mehr, die ich bald einsammeln will. Das kann noch lustig werden,
wie ich gerade sehe: 1/5 ist zwar nicht staubig, zerfàllt aber unter
Beschuss in zwei gleiche(!) Staubteile, 1/5 = 1/10 + 1/10, wobei
1/10 = 0.[0022] (Basis 3) ist.

Gruss,
Rainer Rosenthal

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