Irrationale Zahlen?

10/10/2013 - 20:06 von jungmann | Report spam
Das Fragezeichen im Betreff des Threads deutet es
bereits an: Meiner Meinung nach gibt es keine
irrationalen Zahlen. Die Ueberlegungen, die mich zu
dieser Ueberzeugung gebracht haben, stelle ich
nachfolgend vor. Ich bin gespannt, wie ihr das seht.
Ich gebe einen mengentheoretischen und einen
mathematischen Beweis.

1.1 Mengentheoretischer Beweis

In ZF (Mengenlehre nach Zermelo-Fraenkel) werden
die reellen Zahlen mit Dedekindschnitten in Q definiert.

Q = Menge der rationalen Zahlen
R = Menge der reellen Zahlen

Eine reelle Zahl s ist definiert als die nach oben
offene Untermenge U eines Dedekindschnitts im Koerper
der rationalen Zahlen.
Genauer: eine reelle Zahl s ist eine Teilmenge U von Q,
fuer die gilt:
s (= U) ist nicht die leere Menge und
s ist nicht Q und
aus "y ist Element von U" folgt: "alle rationalen
Zahlen x < y sind Element von U" und
zu jedem x aus U existiert ein y aus U mit x < y.
Die letzte Aussage besagt, dass U nach oben offen ist.

Die <-Beziehung ist als Teilmengenbeziehung definiert,
x < y bedeutet: x ist echte Teilmenge von y.

Zu jedem s existiert in Q auch die Komplementaermenge K,
die auch Obermenge genannt wird. K enthaelt alle z aus Q,
die nicht Element von U sind.
Wenn K nach unten abgeschlossen ist, also ein kleinstes
Element p hat, ist s eine rationale Zahl, naemlich p.
Wenn K nach unten und U nach oben offen ist, ist s
eine irrationale Zahl.

Bei dieser Definition bleiben alle Schnitte in Q, deren
Untermenge ein groesstes Element enthaelt, unberuecksichtigt.
Die beiden Schnitte, bei denen eine rationale Zahl p
entweder goesstes Element in U oder kleinstes Element
in K ist, sind zwei unmittelbar benachbarte Schnitte,
die zwei reelle Zahlen definieren wuerden, zwischen
denen es keine weitere Zahl gibt. Weil das unerwuenscht
ist, bleibt ein Schnitt unberuecksichtigt.

Es stellen sich zwei Fragen:
Wieviel Schnitte gibt es insgesamt?
Gibt es Obermengen K ohne kleinstes und
Untermengen U ohne groesstes Element
oder ist das kleinste bzw. groesste Element
lediglich nicht konkret angebbar?

Da die Schnitte in Q (nicht in R) ausgefuehrt werden,
nimmt man intuitiv an, dass jede rationale Zahl
einen Schnitt definiert und es keine weiteren Schnitte
gibt. Den unmittelbaren Nachbarn einer rationalen Zahl
kann man nicht konkret angeben, weil unendliche Mengen
unendlich viele nicht konstruierbare (und daher nicht
benennbare) Elemente enthalten, fuer die es nur
Existenzbeweise gibt.

Fuer die Richtigkeit dieser Vermutung gebe ich
2 formale Beweise.

1.1.1

Nach Voraussetzung ist die Menge I der irrationalen
Zahlen maechtiger als Q und es gibt keine Bijektion
zwischen I und Q. Man kann aber eine
Surjektion I -> Q definieren:
Auf jedes p aus Q werden die i aus I abgebildet,
fuer die gilt
i < p und i > q fuer alle q < p mit q aus Q.
Falls es ein p gibt, auf das kein i abgebildet wird,
gilt das fuer alle rationalen Zahlen, weil p eine
beliebige Zahl ist. Das waere ein Beweis fuer die
Nichtexistenz der irrationalen Zahlen, denn die
rationalen Zahlen laegen dann so dicht, dass
keine irrationale Zahl zwischen ihnen Platz hat.

Es muss wenigstens ein p geben, auf das ueberabzaehlbar
viele i abgebildet werden, sonst haette I die
Maechtigkeit einer Menge mit abzaehlbar mal abzaehlbar
vielen Elementen und waere ebenfalls abzaehlbar.
Da es kein bevorzugtes p gibt, gilt das fuer alle
rationalen Zahlen. Daraus folgt:
Jede rationale Zahl befindet sich zwischen zwei
Intervallen, die unendlich viele irrationale und
keine rationalen Zahlen enthalten.
Das ist nicht nur ein Widerspruch zu der Aussage,
dass es zwischen zwei irrationalen Zahlen
unendlich viele rationale Zahlen gibt, sondern
auch ein Widerspruch in sich, denn die rationalen
Zahlen, in denen sich die Untermengen, mit denen
die i definiert sind, unterscheiden, definieren
ihrerseits Untermengen von rationalen Zahlen.

1.1.2

In ZF sind die rationalen Zahlen als unendliche
Teilmengen von (Z x Z\0) x (Z x Z\0) mit
Z = Ring der ganzen Zahlen definiert. Ich nenne
sie die Urdefinition (die genaue Definition spielt
im folgenden keine Rolle) und die so definierten
Zahlen rationale Urzahlen. Sie werden mit kleinen
Buchstaben (r,p,u,v) bezeichnet.

Mit der Einfuehrung der reellen Zahlen erhalten
die rationalen Zahlen eine neue Definition,
ich nenne sie Dedekinddefinition und die entsprechenden
Zahlen rationale Dedekindzahlen. Sie werden mit
Ur, Up, Uv bezeichnet.

Beide Definitionen werden parallel verwendet.
Da die Schnitte in Q (und nicht in R) erfolgen,
enthalten die Untermengen nur rationale Urzahlen
unabhaengig davon, ob sie rationale oder irrationale
Zahlen definieren. Das hat folgende Konsequenz:
Ein Intervall A' in Q, das mit p nach oben abgeschlossen
ist, enthaelt p als maximales Element. Das entsprechende
Intervall A in R enthaelt das maximale Element Up.
Die rationale Urzahl p kommt in den Untermengen
von A nicht vor, weil Up nur die rationalen
Urzahlen < p enthaelt.
Auf diesem Unterschied beruht der folgende Beweis.

r und p seien zwei rationale Urzahlen mit r < p
und [Ur,Up] das abgeschlossene Intervall A in R.
A ist die Menge der Untermengen Ux, welche die
reellen Zahlen x in A mit Ur <= Ux <= Up definieren.
Das maximale Element in A ist die nach oben offene
Untermenge Up, welche die Zahl p definiert.
Ver(A) sei die Vereinigungsmenge der Ux aus A.
Ver(A) ist die Menge der rationalen Urzahlen,
die Element in einem Ux sind.
Ver(A) ist nach oben offen und enthaelt alle
rationalen Urzahlen < p, es ist also Ver(A) = Up.
(Ver(A) enthaelt im Unterschied zu A kein maximales
Element.)

[Ur,Up[ sei das oben offene Intervall B in R.
B ist die Menge der Untermengen Uy, welche die
reellen Zahlen y in B definieren mit Ur <= y < Up.
Ausser Up sind alle Ux aus A Element von B.
A enthaelt also genau 1 Element mehr als B.
Ver(B) sei die Vereinigungsmenge der Uy,
also die Menge der rationalen Urzahlen, die
Element in einem Uy sind.

D sei die Differenzmenge von Ver(A) (=Up) und Ver(B).
D enthaelt also die rationalen Urzahlen aus Up, die
nicht Element eines Uy aus B sind.
D ist nicht leer, denn Up enthaelt mindestens
eine rationale Urzahl, die nicht Element eines
Uy ist.
Wenn D mehr als 1 Element enthaelt, dann mindestens
2 rationale Urzahlen u und v mit u < v. Dann gibt es
eine Untermenge Uv - die Definitionsmenge von v -
die alle rationalen Urzahlen < v, also auch u enthaelt.
Uv ist Element von A und nicht von B (sonst waere
u Element von Ver(B) und kein Element von D).
Uv ist nicht gleich Up, denn v ist Element von
Up aber nicht von Uv. A enthaelt also 2 Elemente
Uv und Up, die nicht Element von B sind
1 Element mehr enthaelt als B.

D enthaelt daher nur eine einzige rationale Urzahl m.
m ist das einzige Element in Up, das nicht Element
eines Uy aus B ist und daher das maximale Element
von Up --> Widerspruch zur Voraussetzung, dass Up
nach oben offen ist. Ausserdem ist m die naechst
kleinere rationale Urzahl als p. Da p eine
beliebige rationale Zahl ist, hat auch m eine
naechst kleinere usw.. Es ist also kein Platz
fuer irrationale Zahlen.

1.2 Mathematischer Beweis

Die Definition einer irrationalen Zahl i mit
Cauchhy-Folgen oder Intervallschachtelung
hat zur Voraussetzung, dass sich die Folge
bis auf eine rationale Zahl p an i naehert, so dass
der Betrag der Differenz zwischen p und i kleiner
wird als der Betrag der Differenz zwischen p und
jeder beliebigen anderen rationalen Zahl (sonst
ist i ueberfluessig).
Man kann aber keine zwei rationalen Zahlen
angeben, zwischen denen sich nicht noch beliebig
viele weitere rationale Zahlen befinden.

Welchen Sinn haben zusaetzliche Zahlen, wenn es
nicht einmal gelingt, die Moeglichkeiten, die
rationale Zahlen bieten, auch nur annaehernd
auszuschoepfen?

Zusaetzliche Zahlen waeren nuetzlich, wenn es
unmittelbar benachbarte rationale Zahlen gaebe,
deren Differenz nicht null ist. Solche Zahlen
gibt es nicht, der Grenzwert ist null.
Wuerde der Versuch gelingen, ein i mit rationalen
Zahlen einzugrenzen, waere i ueberfluessig, man
haette die bis auf eine Differenz null angenaeherte
rationale Zahl p zur Verfuegung (die es nicht gibt,
sonst wuerde man nicht versuchen, ein i zu definieren).

Beispiel: Die Aufgabe "Suche eine Zahl, deren Quadrat
2 ist" hat in Q keine Loesung. Es gibt aber Algorithmen,
die eine Folge von rationalen Zahlen liefern, deren
Quadrate sich asymptotisch der 2 naehern. Einigen
reicht das aber nicht, sie haetten gerne eine Zahl i,
deren Quadrat genau 2 ist. Also postulieren sie die
Existenz von i. Mit denselben Algorithmen, mit denen
vorher eine moeglichst gute Naeherung zur Loesung
der gestellten Aufgabe gesucht wurde, wird jetzt
eine fiktive Zahl i (auch nur) angenaehert.
Man ist also der Loesung der gestellten Aufgabe kein
Stueck naeher gekommen. Ist das mathematische Logik?
Die beiden Aussagen "Es gibt keine rationale Zahl x
mit x^2 = 2" und "Fuer jede rationale Zahl x ist
x^2 < oder > 2" sind aequivalent. Eine derart banale
Tautologie (Dedekindschnitt) taugt nicht zur
Definition von Zahlen. (Die Intervallschachtelung
ist nur eine andere Formulierung der Dedekindschnitte.)


1.3 Jedes Zahlensystem hat Luecken

Gegeben sei ein beliebiges Zahlensystem S (z.B. R),
in dem die Addition und Multiplikation ohne
Einschraenkung ausfuerbar sind. Insbesondere
existiert also fuer jede Zahl s das Produkt
s*s = s^2. Aber wie sieht es mit der Umkehrfuntion
aus? Gibt es fuer jedes y in S ein s mit y = s^2?

A sei das abgeschlossene Intervall [0,a] in S.
x sei eine Zahl aus A. Das Quadrat von x
liegt nur fuer 0 <= x <= qu(a) (Quadratwurzel von a)
in A. Die Quadratzahlen der uebrigen x liegen im
Intervall B:= ]a, a^2].

B enthaelt ausser den x^2 noch weitere Zahlen y mit
y ungleich x^2, denn
1. waeren sonst die Addition und Multiplikation nicht
uneingeschraenkt ausfuehrbar und
2. besteht kein Interesse an einem Zahlensystem, in
dem die Zahlendichte nach oben quadratisch abnimmt.
Es gibt also y, fuer die es kein s mit y = s^2 gibt,
denn diese s muessten in A liegen. A enthaelt aber
nur Zahlen x mit x^2 ungleich y.

Entsprechendes gilt fuer alle hoeheren Potenzen.

Noch schlimmer sieht es bei den transzendenten Funktionen
aus. Ihre Funktionswerte werden mit Reihenentwicklungen
berechnet, also mit beliebig vielen aber nie mit allen
eigentlich benoetigten Summanden (die Reihe wird
grundsaetzlich nie fertig). Deshalb haben bei
ihnen nicht nur die Umkehrfunktionen sondern auch die
Funktionen selbst nicht fuer alle x des Definitionsbereiches
einen Wert sondern nur einen Naeherungswert.


Das angestrebte Zahlenkontinuum ist also ein
unerfuellbarer Wunschtraum.
In ZF waere ein Zahlenkontinuum ein Mengenkontinuum.
Da die reellen Zahlen mit der Teilmengenbeziehung
linear geordnet sind, koennte man von einem Mengenkontinuum
allenfalls dann sprechen, wenn 2 Mengen, von denen
eine genau 1 Element mehr enthaelt als die andere,
zwei aufeinander folgende reelle Zahlen definieren
wuerden. (Im Halbring der nat. Zahlen ist w (steht
fuer kleines omega) ein solches Mengenkontinuum.)
Die Untermenge Up, welche die rationale (Dedekind-)Zahl p
definiert, ist nach oben offen. Die im Sinne der
Teilmengenbeziehung naechst groessere Untermenge,
welche auch die rationale Urzahl p enthaelt, definiert
in ZF keine reelle Zahl. Auch die Vorstellung, eine
Untermenge, die genau 2 oder eine andere genau
definierte Anzahl n von Elementen mehr als Up
enthaelt, koenne eine reelle Zahl definieren,
ist in ZF fremd. Wie kann eine derart schwammige
Vorstellung theoretische Grundlage einer
Zahlentheorie sein?

Mit Einfuehrung der reellen Zahlen erhalten die
nat. Zahlen in ZF bereits ihre vierte Definition.
Sie sind jetzt abzaehlbar unendliche Mengen.
(Abzaehlbar, weil sie nur rationale Urzahlen
enthalten, die abzaehlbar sind.) Andererseits
befinden sich zwischen zwei aufeinander folgenden
nat. Zahlen a < b ueberabzaehlbar viele reelle Zahlen.
b enthaelt daher wegen der linearen Ordnung der
Untermengen mit der Teilmengenbeziehung ueberabzaehlbar
viel rationale Urzahlen mehr als a. --> Widerspruch,
weil es nur abzaehlbar viele rationale Zahlen gibt.


Der zu erwartende Einwand, die beschriebenen Luecken
verloeren (bei Verzicht auf ZF wegen der darin enthaltenen
Widersprueche) ihre Bedeutung in einem Zalensystem, in
dem die Zahlen unendlich dicht liegen, ist leicht
zu entkraeften. Nach Voraussetzung enthaelt jedes
endliche Intervall unendlich viele rationale Zahlen,
sie liegen also unendlich dicht. Trotzdem treten in Q
die beschriebenen Luecken auf. Das Problem laesst
sich nicht beseitigen, indem immer noch maechtigere
Mengen postuliert werden mit immer noch dichter
liegenden Zahlen, weil die Anzahl der zusaetzlichen
Luecken schneller waechst.

Mathematische Strukturen entstehen nun einmal,
indem in einem Zahlensystem mit einer einfachen
linearen Grundstruktur Zahlen zum Aufbau komplexerer
Strukturen (mit einer Funktion) ausgewaehlt werden.
Damit ist klar, dass bei der Untersuchung dieser
Strukturen beim Vertauschen von Definitions- und Bildbereich
die nicht ausgewaehlten Zahlen am Aufbau dieser
Strukturen ebenfalls nicht beteiligt sind und die
Umkehrfunktion fuer sie nicht definiert ist.
(Wenn diese Zahlen in einem zusammenhaengenden
Intervall liegen, sieht jeder ein, dass die
Umkehrfunktion fuer sie nicht definiert ist.
Warum nur dann?)

Um den spekulativen Charakter unendlicher Mengen
dedeutlich zu machen, beschreibe ich im folgenden
einige der zahlreichen Widersprueche in ZF, die
in engem Zusammenhang mit obigen Ausfuehrungen
stehen.


2. Die Folge der natuerlichen Zahlen enthaelt, sofern
sie tatsaechlich eine Menge N ist, eine groesste Zahl.

Beweis:

Es sei w die Menge, die in ZF die Menge N repraesentiert
und w_n mit n aus N die Mengen, die in ZF die natuerlichen
Zahlen repraesentieren. w ist also die Menge aller w_n.
Jedes w_n enthaelt n Elemente und es ist
w_n = {w_0, w_1,..., w_(n-1)}, w_0 ist die leere Menge.


Eine Ordinalzahl x ist nicht nur eine Zahl sondern
auch das Intervall [w_0, x[, das ist die Menge
der Ordinalzahlen < x. Die meisten dieser Intervalle
sind oben mit dem Vorgaenger von x abgeschlossen,
nur wenn x eine Limeszahl (z.B. w) ist, ist das
entsprechende Intervall oben offen.

Gibt es ein Intervall B, dessen kleinste
Zahl ebenfalls w_0 ist und das genau 1 Zahl z
weniger enthaelt als w?

Wenn ja, dann ist z die groesste Zahl in w und
w ein mit z abgeschlossenes Intervall bzw. eine
Menge mit der groessten nat. Zahl z.

Ein Intervall C (mit der kleinsten Zahl w_0), das
kleiner als w ist, enthaelt x Zahlen weniger als w.
Jede dieser Zahlen ist das maximale Element eines
abgeschlossenen Intervalls, das groesser als C ist,
aber nur (x-1) dieser Intervalle sind kleiner als w.
Im Widerspruch zur Voraussetzng existiert also ein oben
abgeschlossenes Intervall, das identisch mit w ist.
w enthaelt also ein groesstes Element, das die
groesste nat. Zahl repraesentiert.
_
|_|

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Der vorstehende Beweis hat Allgemeingueltigkeit:

a und b seien zwei rationale (oder reelle) Zahlen
mit a < b und A sei das oben offene Intervall [a,b[
in Q (bzw. R).
Gibt es ein Intervall B in Q (bzw. R), dessen kleinste
Zahl ebenfalls a ist und das genau 1 Zahl z
weniger enthaelt als A?

Wenn ja, dann ist z die groesste Zahl in A und
A kein offenes sondern ein mit z abgeschlossenes
Intervall. Ausserdem ist z die naechst kleinere
Zahl als b und es stellt sich die Frage,
wie gross die Differenz b - c ist.

Ein Intervall C (mit der kleinsten Zahl a), das
kleiner als A ist, enthaelt x Zahlen weniger als A.
Jede dieser Zahlen ist das maximale Element eines
abgeschlossenen Intervalls, das groesser als C ist,
aber nur (x-1) dieser Intervalle sind kleiner als A.
Es existiert also ein abgeschlossenes Intervall,
das identisch A ist.
_
|_|

Fazit:
In einer Zahlentheorie, in der es nur Zahlen_mengen_
gibt, gibt es keine offenen Intervalle. Ausserdem
existieren zu jeder Zahl die naechst groessere und
kleinere Zahl auch wenn sie nicht explizit angegeben
werden koennen.

Ein Zahlensystem, das auf der Vorstellung basiert,
dass die Zahlen a priori gegeben sind, impliziert
die Vorstellung, dass die Gesamtheit der Zahlen
eine Menge ist, aus der beliebige Teilmengen
ausgewaehlt werden koennen.

In einem konstruktiven Zahlensystem gibt es keine
virtuelle Box (in ZF Menge genannt), der man fertige
Zahlen entnehmen kann. Hier sind nicht die Zahlen
vorgegeben sondern eine aus der Erfahrung abgeleitete
und als zweckmaessig befundene Konstruktionsvorschrift,
mit der man beliebig viele, beliebig grosse und kleine
und beliebig dicht liegende Zahlen konstruieren kann.
In einem solchen offenen System gibt es keine unendlich
dicht liegenden Zahlen mit den daraus resultierenden
Widerspruechen. Ausserdem hat hier der Begriff
"offenes Intervall" den Sinn, dass es offen bleibt,
wie weit man in der Konstruktion (in der Mathematik
Algorithmus genannt) geht, um eine Zahl zu finden,
die moeglichst dicht an einer gegebenen Zahl liegt.
Ich denke, dass diese Sichtweise der mathematischen
Praxis naeher kommt als die mengentheoretischen
Spekulationen.


3. Wenn w unendlich ist, dann gibt es auch unendliche w_n.

Beweis:

Es gibt unendliche Teilmengen T von w, die lueckenlos
alle Elemente von w_0 bis zu einem w_x, das nicht das
groesste Element von w ist, enthalten.
Begruendung:
Man benoetigt nicht alle Elemente von w, um eine
unendliche Menge zu erhalten, sonst koennte man w
nicht in paarweise disjunkte unendliche Teilmengen
zerlegen. Ausserdem gibt es keine kleinste unendliche
Menge. Wenn es keine unendliche echte Teilmenge
T = {w_0,w_1, w_2, ...,w_x} gaebe,
waere w die kleinste unendliche Menge.

Jede dieser unendlichen T ist auch
Teilmenge aller w_n mit n > x.
endliche Mengen enthaelt.

Konsequenz:
Da es keinen kontinuierlichen Uebergang von endlichen
zu unendlichen w_n gibt, ist w endlich. Nur die Elemente
endlicher Folgen oder Teilfolgen sind also zugleich
Elemente von Mengen. Anders ausgedrueckt: Eine potentiell
(so der historische Ausdruck) unendliche Folge uebertrifft
die Maechtigkeit jeder Menge, was unmittelbar einsichtig
ist, weil eine Menge ein hermetisch abgeschlossenes Objekt
ist, dem nichts mehr hinzugefuegt werden kann, waehrend
einer Folge unbegrenzt weitere Elemente hinzugefuegt
werden koennen. Wegen dieser Eigenschaft ist die Anzahl
der Elemente einer Folge unbestimmt und kann nicht auf
+/- 0 Elemente genau festgelegt werden, was Voraussetzung
dafuer ist, dass sie Elemente einer Menge sein koennen.
Diese Tatsache wird in ZF ignoriert und - anschaulich
gesprochen - versucht, die auf unbegrenztes Wachstum
ausgelegte Folge in die starren Grenzen einer Menge
einzusperren. Daraus resultiert die unendliche Vieldeutigkeit
der Maechtigkeitsdefinition unendlicher Mengen.

Diese Maechtigkeitsdefinition, mit der Mengen auf eigene
echte Teilmengen abgebildet werden koennen, ist mathematisch
belanglos. Z.B. kann man in ZF die "Menge" der zusammengesetzten
Zahlen auf die "Menge" der Primzahlen bijektiv abbilden.
Die Frage nach der Verteilung der Primzahlen waere damit
schnell beantwortet. Warum versucht kein Mathematiker das
Problem auf diese "elegante" Art zu loesen? Weil es nur auf
die Verteilung der Zahlen in ihrer natuerlichen Folge ankommt
waehrend die Frage, ob die Elemente der Folge auch Elemente
einer Menge sein koennen, irrelevant ist.*) Aus mathematischer
Sicht sind die Bijektionen zwischen Mengen und ihren Teilmengen
ein stupides Spiel mit bedeutungslosen Symbolen. Worin
besteht der Erkenntnisgewinn, wenn man feststellt, dass man
neben ein Symbol n stets auch das Symbol n^2 schreiben kann?
-
*) Analog zu dem Beweis in 1.1.1 kommt es in diesem Beispiel
auf die Untersuchung folgender Surjektion an:
Auf jede Primzahl p werden die nat. Zahlen z
abgebildet, fuer die gilt
p < z (oder p <= z) und z < q fuer alle Primzahlen q > p.


Eine Menge ist definitionsgemaess ein ungeordneter,
strukturloser Haufen von Elementen.
Die in ZF angefuehrten Bijektionen machen nur Aussagen
ueber einzelne Elemente von Folgen, also ueber Elemente,
die in bestimmter Weise angeordnet sind. Sie machen keine
Aussage ueber die Folge als fertiges Objekt und noch
weniger ueber Mengen, die keine Ordnung aufweisen.

Eine Ausnahme ist der als "Satz von Cantor" in die
Literatur eingegangene Beweis. Er zeigt, dass es _keine_
Bijektion zwischen einer Potenz_menge_ Pot(M) und ihrer
Teil_menge_ T der Einermengen gibt. Er bezieht sich nicht
auf eine Bijektion zwischen Folgen sondern setzt ohne
Vorgabe einer Anordnung der Elemente eine Bijektion
zwischen den Mengen Pot(M) und T voraus. Das ist der
entscheidende Unterschied zu den sonst in ZF angefuehrten
Bijektionen, die von der Anordnung der Elemente abhaengen.
Deshalb bestaetigt dieser Beweis, dass es keine Bijektion
zwischen einer Menge und ihrer echten Teilmenge gibt.

Beweise, die fuer aktual unendliche Mengen gelten sollen,
(also fuer "fertige" Mengen, die unendlich _sind_ und sich
nicht nur dem Ziel "unendlich" annaehern ohne es zu erreichen)
duerfen sich nicht auf potentiell unendliche Folgen
beziehen. Die Nichtbeachtung dieser Tatsache ist die
wichtigste Ursache fuer zahlreiche Widersprueche in ZF.

Ausserdem zeigt der Beweis, dass es zu jeder Menge
eine maechtigere gibt, dass also jede Menge erschoepfbar
ist. Das ist das Charakteristikum endlicher Mengen.
Auch der Satz von Cantor zeigt also (wie der obige Beweis),
dass es nur endliche Mengen gibt.


4. Es gibt keine Bijektion zwischen einer Menge
und einer ihrer echten Teilmengen.

Dafuer gibt es mehrere Beweise, hier ein besonders
einfacher:

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen A und B ist eine
Menge P von geordneten Paaren, die jedem Element aus A
genau ein Element aus B zuordnen und umgekehrt jedem
Element aus B eins aus A. Man kann die Bijektion als
Funktion A ->B oder B->A auffassen.
Im ersten Fall ist A der Definitionsbereich, im
zweiten Fall B. Fuer eine gegebene Bijektion ist
P nicht davon abhaengig, ob man A oder B als
Definitionsbereich betrachtet, insbesondere ist
die Anzahl der geordneten Paare davon unabhaengig.

Andererseits ist die Anzahl der geordneten Paare in P
gleich der Anzahl der Elemente des Definitionsbereichs,
denn jedem Element des Definitionsbereichs wird ein
Element zugeordnet egal woher es stammt und wie gross
die Anzahl der Elemente des Bildbereichs ist. Wenn
verschiedene Bildbereiche auf denselben Definitionsbereich
abgebildet werden, aendert sich die Anzahl der Paare nicht.

Ist nun B echte Teilmenge von A, hat A mehr Elemente als B.
Die Bijektion A ->B enthielte also mehr Elemente als die
Bijektion B ->A. --> Widerspruch


5. Zur Maechtigkeitsdefinition in ZF.

Das Mengensystem w besteht aus unendlich vielen leeren
Mengen. Mit jedem Schritt in der Folge verdoppelt
sich ihre Anzahl. Jedes w_n enthaelt 2^(n-1) leere
Mengen und ihre Anzahl in den Mengen w_0 bis w_n
ist 2^n. Ihre Anzahl in w ist daher 2^w = 2^Aleph-0.
Die Menge der leeren Mengen in w ist daher nach einem
Satz in ZF ueberabzaehlbar (weil es die bekannte
Bijektion zwischen Pot(w) und jeder Menge
mit 2^w Elementen gibt).

Andererseits enthaelt jedes w_n abzaehlbar viele leere Mengen
und es gibt abzaehlbar viele w_n. Die Menge der leeren
Mengen in w hat also die Maechtigkeit einer Vereinigungsmenge
von abzaehlbar vielen abzaehlbaren Mengen und ist daher
ebenfalls abzaehlbar.

mfg
DJ
 

Lesen sie die antworten

#1 Jens Schweikhardt
11/10/2013 - 00:19 | Warnen spam
jungmann wrote
in :
# Das Fragezeichen im Betreff des Threads deutet es
# bereits an: Meiner Meinung nach gibt es keine
# irrationalen Zahlen. Die Ueberlegungen, die mich zu
# dieser Ueberzeugung gebracht haben, stelle ich
# nachfolgend vor. Ich bin gespannt, wie ihr das seht.
# Ich gebe einen mengentheoretischen und einen
# mathematischen Beweis.

tl;dr

Welche Zahl gibt dann mit sich selbst multipliziert 2? (Wenn die Antwort
heißt: keine, weil jede Zahlenmenge "Lücken" hat, dann wàre alles ein
"Beweis durch Behauptung des zu Beweisenden").

Regards,

Jens
Jens Schweikhardt http://www.schweikhardt.net/
SIGSIG -- signature too long (core dumped)

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