Irreduzibe Darstellung der SO(3)

03/10/2008 - 15:46 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo

Zum Auffinden der irreduziblen Darstellungen der SO(3) beginnt man ja
mal mit den beiden Operatoren J_z und J^2 und sucht deren gemeinsamen
Eigenzustaenden. Dafuer geht man ueber zu den Leiteroperatoren J^(+-),
von denen man feststellt, dass sie den J_z-Eigenwert eines Zustandes um
eins erhoehen oder senken. Man schliesst daraus, dass die Abstaende im
Spektrum von J_z alle den Wert 1 besitzen und man durch genuegend oftes
Anwenden durch das ganze Spektrum gelangt.
Genau hier habe ich meine Frage: Wer garantiert mir, dass es nicht noch
Eigenwerte zwischen denjenigen gibt, die ich mit den Leiteroperatoren
abklappere? Wer garantiert mir also, dass ich mit den Leiteroperatoren
alle Eigenwerte finde?

Gruss, Daniel
 

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#1 Alexander Streltsov
03/10/2008 - 16:13 | Warnen spam
Daniel Arnold schrieb:
Hallo

Zum Auffinden der irreduziblen Darstellungen der SO(3) beginnt man ja
mal mit den beiden Operatoren J_z und J^2 und sucht deren gemeinsamen
Eigenzustaenden. Dafuer geht man ueber zu den Leiteroperatoren J^(+-),
von denen man feststellt, dass sie den J_z-Eigenwert eines Zustandes um
eins erhoehen oder senken. Man schliesst daraus, dass die Abstaende im
Spektrum von J_z alle den Wert 1 besitzen und man durch genuegend oftes
Anwenden durch das ganze Spektrum gelangt.
Genau hier habe ich meine Frage: Wer garantiert mir, dass es nicht noch
Eigenwerte zwischen denjenigen gibt, die ich mit den Leiteroperatoren
abklappere? Wer garantiert mir also, dass ich mit den Leiteroperatoren
alle Eigenwerte finde?

Gruss, Daniel



Das habe ich mir auch schon überlegt, der Grund ist recht einfach.
Aus der Nichtnegativitàt des Normquadrats schließt man ja, dass
J^-|j,-j> = 0 sein muss.
Nehmen wir nun an, es gibt einen Zustand |j,m> mit einem beliebigen m,
z.b. 1/3. Dann könnte man ausgehend von diesem Zustand durch Anwendung
von J^- Zustànde erzeugen, deren m kleiner ist, als -j.

mfg
Alex

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