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Ist der kreisförmige Rohrquerschnitt optimal?

03/03/2009 - 19:19 von Ulrich Lange | Report spam
Die Differentialgleichung

- Laplace u = 1 in Omega
u = 0 auf dem Rand von Omega

ist bekanntlich für jedes Gebiet Omega c IR^2 (mit hinreichend regulàrem
Rand) eindeutig lösbar. Frage:

Für welches Omega c IR^2 mit µ(Omega) = 1 ist ||u||_1 maximal?

Hintergrund: Die Lösung der DGL kann als (geeignet normiertes)
Geschwindigkeitsprofil der vollentwickelten laminaren Strömung in einem
Rohr mit Querschnitt Omega und gegebenem Druckgradienten interpretiert
werden.
Die Frage ist also: Für welchen Rohrquerschnitt mit gegebenem
Flàcheninhalt wird der Volumenstrom bei gegebenem Druckgradienten maximal?

Intuitiv einleuchtende Antwort: Es kann nur der Kreisquerschnitt sein,
da der den kleinsten Umfang von allen Querschnitten gegebener Flàche
hat und der Druckverlust ja von den Wandschubspannungen herrührt.

Aber wie beweist man das mathematisch? Was ist die größte Klasse von
Gebieten, für die man das beweisen kann?

Ich habe einen Beweis für sternförmige Gebiete, also Gebiete, deren Rand
sich in der Form {(R(phi)*cos(phi),R(phi)*sin(phi))| phi e [0,2*pi]}
parametrisieren làßt. Die wesentliche Idee dabei ist das Maximumprinzip.

Ich habe aber das Gefühl, daß das irgendwie eleganter und allgemeiner
gehen muß. Ich kann mir auch gut vorstellen, daß das eine bekannte
Aufgabe ist. Hat jemand eine Beweisidee bzw. einen Literaturtipp?


Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
 

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#1 Norbert Dragon
03/03/2009 - 19:32 | Warnen spam
* Ulrich Lange schreibt:

Die Differentialgleichung

- Laplace u = 1 in Omega
u = 0 auf dem Rand von Omega

ist bekanntlich für jedes Gebiet Omega c IR^2 (mit hinreichend regulàrem
Rand) eindeutig lösbar. Frage:

Für welches Omega c IR^2 mit µ(Omega) = 1 ist ||u||_1 maximal?



Falls Du

Courant Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Volume 1

nicht schon gut kennst, hilft vielleicht ein Blick in Kapitel VI, in
dem die Abhàngigkeit von Eigenwerten vom Gebiet des Randwertproblems
untersucht wird.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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