R ist überabzählbar

21/11/2008 - 09:00 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Weil der Cantor-Thread langsam unübersichtlich wird, mache ich mal einen
neuen auf. Ich denke noch immer über Beweise nach, die nicht das
Diagonalargument benutzen.

Man kann ja eine reelle Zahl in Binàrdarstellung auch als Teilmenge von N
auffassen. Ist der Beweis, dass es keine Bijektion zwischen einer Menge und
ihrer Potenzmenge gibt, eigentlich ein anderer Beweis für die
Überabzàhlbarkeit von R oder nur das Diagonalargument in Verkleidung?

Grüße
Jutta
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
21/11/2008 - 12:22 | Warnen spam
"Jutta Gut" schrieb im Newsbeitrag
news:7e4be$49266a92$d52f93dc$
Hallo!

Weil der Cantor-Thread langsam unübersichtlich wird, mache ich mal einen
neuen auf. Ich denke noch immer über Beweise nach, die nicht das
Diagonalargument benutzen.

Man kann ja eine reelle Zahl in Binàrdarstellung auch als Teilmenge von N
auffassen. Ist der Beweis, dass es keine Bijektion zwischen einer Menge
und ihrer Potenzmenge gibt, eigentlich ein anderer Beweis für die
Überabzàhlbarkeit von R oder nur das Diagonalargument in Verkleidung?

Grüße
Jutta



Hallo Jutta !

1.)Zum ersten Absatz deines Beitrags:
Einen derartigen Beweis findest du auf meiner Homepage unter

member.schule.at/kimathe/Ueberabzaehlbarkeit.html

Für das vollstàndige Runterladen mußt du etwas warten.
Dieser Beweis geht auf Cantor zurück und verwendet kein Diagonalargument.
Man braucht aber natürlich die Vollstàndigkeit von R. Jeder korrekte Beweis
für die Überabzàhlbarkeit von R muß explizit oder implizit die
Vollstàndigkeit von R benützen.
Ich glaube, daß Cantor diesen Beweis vor seinem Diagonalbeweis geführt
(veröffentlicht) hat.
Ich habe den Beweis dem folgenden sehr interessanten Buch entnommen:
J.C. Oxtoby: Maß und Kategorie , Springer Verlag,1971, ISBN 3-540-05393-X

2.)Zum zweiten Absatz:
Die Cantor'sche Beweisführung, daß die Potenzmenge P(M) einer Menge M eine
größere Màchtigkeit als M hat, kann man als eine "Verkleidung" des
Diagonalarguments sehen.
Historisch, so glaube ich, hat Cantor das Diagonalargument erst spàter
"erfunden" um für seine Gegner verstàndlicher zu sein.
Genaueres dazu ergibt sich aus den drei Sàtzen (4.25) bis (4.27) des
folgenden Buches:
"Real and Abstract Analysis" von E. Hewitt und K. Stromberg, Springer
Verlag.
In den Beweisen wird allerdings der Satz von SCHRÖDER-BERNSTEIN verwendet.
Ich werde dir heute noch diese drei Sàtze (mitsamt Beweisen) einscannen und
via E-Mail schicken.

Herzliche Grüße,
Wolfgang

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