Jetzt lösen wir mal eine lineare Differentialgleichung ( Niveau BWL ), ihr betrügerischen und kriminellen Enkel von Außreißern aus der KZ-Behindertenabteilung

12/10/2012 - 08:50 von Einstein007 | Report spam
1) Trennung der Variablen
g (x) + h(y) × y' = 0
dy
g(x) + h(y) 0
dx
® ò h(y) dy = - òg(x)dx
Da die Funktion g nur von x und
die Funktion h ist nur von y abhàngig ist, spricht man von
DLG mit getrennten Variablen, die auf verschiedene Seiten gebracht werden
Bsp. 15.2.06, S. 5 allgemein selber durchlesen
Bsp. 15.2.07, S. 5 speziell selber durchlesen
Beispiel: 2xy - 1y‘ = 0
y' = 2xy mit y(0) = 1 als Anfangswert
Allgemeine Lsg:
dy y
= 2xy 2 x für y 0
dx y
dy
= 2 xdx für y 0
y
x

= ¶ ¹
ò ò ¹
2 * 2 * *
2
2 *
x +c x c c
x
lny x c
y e =e e mit c = e 0
y = ce
= +
= × >
Spezielle Lösung
2
o
x
y(0)= 1 ce 1 c = 1
y = e
® = ®
Aufgabe 5.1.a rechnen
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Oben ist ein Spezialfall der exakten DGL gewesen
2) Exakte bzw. Totale DGL
g(x,y) + h(x,y)*y’ = 0 wobei gilt :gy' = hx' (immer zuerst überprüfen!)
Es wird davon ausgegangen, dass es eine Funktion F(x,y) gibt, für die gilt:
F’x = g(x,y) Wie schon bekannt gilt, dass die Kreuzableitungen
F’y = h(x,y) (2. Partielle Abl.) einer Funktion immer identisch sind
F’xy = g’y = h’x = F’yx
Beispiel 15.3.2, S.8
Zum Bestimmen von F(x,y):
G(x,y) + ò (h(x,y) - Gy'(x,y))dy = c
So kommt man darauf:
x
y y
y
I: F(x,y) = F' c(y)= g(x,y)dx+c(y)= G(x,y)+c(y)
II: diese Funktion nach y ableiten: F' =G' (x,y)+c'(y)=h(x,y)
III: umgeformt ergibt sich: c'(y) = h(x,y) - G' ( , )
IV: Integrieren ergibt: c(y) = h(x
dx
x y
ò + ò
ò ,y)-G'y (x ,y)dy in I einsetzen
Beispiel 1:
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 x 2 x x
x x
x
2 x 2 x
x
y
2y x e 2 ' 0 g=2y xe und h=2ye
total? gy' = 4yxe h ' 4xye ja!
G = g(x,y)dx = 2y xe dx = y e
G ' = 2ye
c(y) h(x,y)-
+ yex y = ®
ò
ò
2 2
2
x x
2 x
G(x,y)'y dy = (2ye 2ye )dy 0dy ist die Lsg des 2. Terms
F(x,y)= G(x,y)+c(y)=y e +0= c ist die Gesamtlösung
ò ò - = ò
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Beispiel 2:
x
y x
x x
y
x
y + e (x + cosy) y' = 0
total? g' 1 und h' 1 ist gleich JA!
G = (y + e )dx = xy + e
G ' = x
( ) ( ( , ) ' ( , )) (x + cos y - x) dy = cos y dy = sin y
allg. Lsg.: G(X,y)+c(y) = xy + e
c y h x y G y x y dy
+
= = ®
ò
= ò - = ò ò
+ sin y = c
Aufgabe 5.1.b rechnen
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3) Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
F(x,y,y‘) = g(x,y)+h(x,y)*y‘ = 0
Spezialfall homogene DGL :
g(x,y) = -g
y
x
æ ö
ç ÷
è ø
und h(x,y) = 1
somit ergibt sich g(x,y)+y‘=0 und daraus y‘ = g
y
x
æ ö
ç ÷
è ø
= g(z)
Die Bezeichnung Ähnlichkeitsdifferentialgleichung leitet sich aus der Tatsache ab, dass mit jeder Lösung y(x)
auch jede durch Ähnlichkeitsabbildunge bzgl. Des Koordinatenursprungs aus y(x) hervorgehende Funktionen
wiederum eine Lösung darstellen.
y
Subst.: z = bzw.: y = z x nach x Ableiten: y' = x z' + z, da
x
y = u v mit u = z und v = x wird zu
y' = u'v + uv' mit u' = z' und v' = 1
× ×
×
y’ = xz’ + z mit y’ = g(z) gleichsetzen
Beispiel:
2
2
2 2
y y
y' x x
y
Subst. z = mit y' = x z' + z
x
y y
Gleichsetzten von y' = und y' = x z' + z ergibt:
x x
dz
xz' + z = z -z wird zu xz' = -z , bzw.: x
dx
- æ ö ç ÷
è ø
×
- æ ö × ç ÷
è ø
= -z2
alles was ein x enthàlt wird auf eine Seite gebracht, alles was ein z enthàlt wird auf die andere Seite gebracht
und anschließend integriert.
2
dz dx
-
z x
1
lnx c
z
x x
Rücksubst.: ln oder y y ln x
x c
c
ò = ò
= +
= +
+
Aufgabe 5.1.c rechnen
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4) Lineare DGL
Ein DGL heißt linear, wenn die Funktion F(x,y,y(1),...,y(n)) = 0 eine lineare Funktion ist, d.h. wenn die DGL die
Form:
F(x,y,y(1),...,y(n)) := pn(x)y(n)+...+p1(x)y(1)+p0(x)y - r(x) = 0 hat,
wobei die pi und r in einem Intervall stetige Funktionen der Variablen x sind.
Lineare DGL 1. Ordnung
p1(x)y(1)+p0(x)y = r(x) | : p1
y' + p(x) × y = q(x)
bei r(x) bzw. q(x) = 0: dann linear homogen ® Lsg. über Trennung der Variablen
ansonsten linear inhomogen® Lsg. mit Eulerischen Multiplikator eò p(x)c
allgemeiner Lösungsweg
y' + p(x) × y = q(x) |* eP(x) (Achtung, das P ist groß uns somit das Integral von p(x))
eP(x) y‘ + eP(x) p(x) y = eP(x) q(x)
Ab hier entweder:
| ò Anwendung der Produktregel für Funktionen
eP(x) y = òep(x) q(x) dx
y = e-p(x) òep(x) q(x) dx
Oder alternativ :
eP(x) p(x) y - eP(x) q(x) + eP(x) y‘ = 0 exakte DGL (ist aber etwas umstàndlicher als Alternative a)
Bsp. 15.5.3, S.19 bringen
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Beispiel:
x2 y' + (-2x) y = e
Ausführlicher Weg:
p(x): -2x dx = -x2 Eulerscher Multiplikator: m(x) = e-x2 macht aus DGL exakte DG
beide Seiten damit multiplizieren
ò ®
®
2
2 2 2 2 2 2
2
2
-x -x -x
-x
e y' - 2xe y e 1 | Integrieren nach y
e y = x + c nach y hin auflösen
x
x x x
x
e
e e
e
= + = - = ®
y = ex2 (x+c)
Nur über Verwendung der Formel:
y(x) = e-P(x) × (c + òr( x) ×eP(x)dx) = 2 2 2 ex × (c + ò ex e-x dx) = ex2 (x+c)
Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer spez.
Lösung der inhomogenen DGL.
Aufgabe 5.1.d rechnen
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Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
Typ: y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x)
a) homogene Lösung
a1) einfachster Fall: y'' = 0
damit vereinfacht sich die obige Formel zu:
p(x) y' + q(x) y = 0
ersetzt 1
-q(x)
y' = = c
p(x)
damit ergibt sich: y=c1x +c2
Diese Lösung besitzt immer 2 freie Konstante
a2) Allgemeiner Fall
Nützliche Aussagen über die „Bauart“ der allgemeinen Lösung:
1 2
1 2
Ein Paar y , y von Lösungen heißt l.u., wenn es keine Konstante
c gibt, für die gilt:
y (x) = c y (x)
ÎR
×
Sind y1 und y2 l.u. (spezielle Lösungen), so ist auch jede Linearkombination von ihnen Lösung;
sie bilden die allgemeine Lösung. (Siehe auch Def. Fundamentalsystem, S. 22, Skript)
Ziel: finden von zwei linear unabhàngigen Lösungen
Bsp: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffiziente (Vergleiche dazu Skript, S. 24):
y = e x y' = e x y'' = 2e x
für spez. Werte von ergeben sich spez. Lsg. der DGL
einsetzen in y'' + py' + qy = 0 ergibt:
l l l l l
l
2 x x x x
2
e p e + qe 0 |:e
p +q = 0 charakteristische Gleichung, deren NS spezielle Lösung darstellen.
l l + l l l = l
®l + l
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Es lassen sich 3 Fàlle unterscheiden (Einsetzen von unterschiedlichen Werten für p und q):
1. Fall: 2 verschiedene reelle NS:
Setze p = 3 und q = 2
2
1 2
y'' + 3y' + 2y = 0
l + 3l + 2 = 0 ®l = -1; l = -2
Durch Linearkombination der beiden Eigenwerte erhàlt man die allgemeine Lösung des Problems:
-x -2x
y = c1e +c2e
2. Fall: 1 reelle NS
Setze p = 2 und q = 1
1
2
2
y'' + 2y' + y = 0
l + 2l +1 = 0 ®l = -1
Auch hier erhàlt man durch Linearkombination der beiden Eigenwerte die allgemeine Lösung:
-x -x
y = c1e + c2xe Herleitung über die Variation der Konstanten
3. Fall: Komplexe NS
1
2
2
-x
1 2
z.B. y'' + 2y' + 2y = 0
2 2 = 0 1 1 2 1 1 i
allg. Lsg.: y = e (c cosx + c sin x)
l + l + l =- ± - = - ± ×
®
mit p = 2 und q = 2
Aufgabe 5.1.e ii und i rechnen
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Anfangswertaufgabe:
Suche nach spezieller Lösung, die den Anfangswertbedingungen für y und y’genügt.
Weiterführung des Beispiels aus Fall 1:
-x -2x -x -2x
1 2 1 2
1 2
1
y'' + 3y' + 2y = 0 mit y (0) = 3
und y' (0) = -5
allg. Lsg.: y = ce ce y' = -ce 2c e
y (0) = 3 : 3= c c
y (0) 5:
+ -
+
= - 1 2 1 2
-x -2x
5 c 2c c 1 c 2
spez.Lsg.: y = e 2e
- =- - ® = +
b) Inhomogene DGL:
allg. Lösung setzt sich zusammen aus Lösung der homogenen DGL und einer beliebigen spez. Lösung der
inhomogenen DGL
Skript: Reduktion der Ordnung (Var. der Konstanten)
· man kennt eine Lösung der homogenen DGL ( ) 1 y(x)
· die inhomogene hat dann eine spez. Lösung y(x) = y1(x)× z(x)
· durch Einsetzen der Lösung y(x) in die inhomogene DGL reduziert sich deren Ordnung und wird lösbar:
pn(x)y(n)+...+p1(x)y(1)+p0(x)y = 0 hat eine Lösung der Form y = y1(x) z(x)
Beispiel 15.5.6, Seite 20/21 Skript:
3y + xy’ – x2y’’ = 0 hat als eine Lösung y1 = x3 und somit auch y(x) = x3 z(x)
dies setzt man ein in die obige Formel und erhàlt z = x-4 und somit auch y 1
x
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Beispiel:
y'' - y = 2
1. Lösung des homogenen Teils:
2 x x x
y'' + py' + qy = 0 mit p = 0 und q = -1
l el + plel + qel = 0
1
2
l2 -1= 0 ®l = ±1
Damit ergibt sich als eine Lösung:
x
y1(x) = e
2. Eine spezielle Lösung des inhomogenen DGL
x
s
x x
x x x x
Ansatz y z(x) e
y' = z'e ze
y'' = z''e z'e z'e ze
= ×
× +
+ + +
einsetzen in y'' - y = 2 ergibt
x x x x
x x
x x -x
-x
z''e 2z'e +ze ze 2
z''e 2z'e = 2 Subst. u = z'
u'e 2ue = 2 e
u' + 2u = 2e
+ - +
+ ×
Bestimmung der Eulerschen Zahl
-x 2dx 2x
2x 2x -x 2x x
2x x
-2xx -
u' + 2u = 2e lineare DGL m = e e
e u' + 2e u = 2e e 2e integrieren
e u = 2e
u = e 2e 2e x z' z = -2e
ò
-
× ×
= = ® x
-x x
® ys = -2e × e = -2
3. Die allgemeine Lsg. Des inhomogenen DGL
x -x
y(x) = c1e + c2e -2
homogene Lösung + spezielle Lösung
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einfacher (aber nicht im Skript): Koeffizientenvergleich
rechte Seite linke Seite
s
n n
o 1 n o 1 n
bx bx
1
r(x) Ansatz y ( )
r x +...+ rx s s x +...+ s x
ae ce homogene Lösung
a sin bx +
x
+ r +
a 2 cos bx A sin bx + B cos bx
Ist r(x) Summe von o.g. Ausdrücken muß auch als Ansatz deren Summe gewàhlt werden;
sie können auch getrennt berechnet werden:
s o
0 o
2
Bsp. von eben: y'' - y = 2 r(x) = 2
Ansatz y s y' = 0 y'' = 0
einsetzen -s 2 s 2 als spez. Lsg.
Bsp.: y'' + 2y' + 2y = 2x 2
®
= ® ®
= ® = -
+
-x
h 1 2
2
s o 1 2
s 1 2
s 2
homogene Lsg.: y e (c cos x + c sin x)
Ansatz y s s x + s
y' = s 2s x
y'' = 2s
x
= +
+
2 2
2 1 2 o 1 2
2
2 2
2 1 1 1
einsetzen: 2s 2s 4s x + 2s 2s x + 2sx 2x 2
Koeffizientenvergleich:
x :2s 2 s 1
x : 4s 2s 0 4 2s 0 s
+ + + = +
= ® + = ® + = ® = -
2 1 o 0 0
2
c : 2s + 2s +2s = 2 ®2- 4+ 2s =2 ®s = 2
2
s
-x 2
1 2
spez. Lsg: y 2 2x x
allg.inh.Lsg.: y = e (c cos x + c sin x) + 2 - 2x + x
= - +
Lineare Differentialgleichungen in der Ökonomie
Wachstumsmodell für das Volkseinkommen nach Boulding
Differentialgleichungsmodell der Versicherungsmathematik
(Selber durchlesen, S.28 und 29, Skript)
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#1 AGUIRRE
16/10/2012 - 12:56 | Warnen spam
Am Freitag, 12. Oktober 2012 08:50:28 UTC+2 schrieb Einstein007:

Verpuf(f)ende Energie PUSSY CAT!
Das interessiert doch hier keine Sau!
Spar dir deine Energien für deine nàchste Prüfung
bei Professor Weigl, PUSSY CAT!
1) Trennung der Variablen

g (x) + h(y) × y' = 0

dy

g(x) + h(y) 0

dx

® >
ò h(y) dy = - òg(x)dx

Da die Funktion g nur von x und

die Funktion h ist nur von y abhàngig ist, spricht man von

DLG mit getrennten Variablen, die auf verschiedene Seiten gebracht werden

Bsp. 15.2.06, S. 5 allgemein selber durchlesen

Bsp. 15.2.07, S. 5 speziell selber durchlesen

Beispiel: 2xy - 1y‘ = 0

y' = 2xy mit y(0) = 1 als Anfangswert

Allgemeine Lsg:

dy y

= 2xy 2 x für y 0

dx y

dy

= 2 xdx für y 0

y

x



= ¶ ¹

ò ò ¹

2 * 2 * *

2

2 *

x +c x c c

x

lny x c

y e =e e mit c = e 0

y = ce

= +

= × >

Spezielle Lösung

2

o

x

y(0)= 1 ce 1 c = 1

y = e

® = ®

Aufgabe 5.1.a rechnen

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Oben ist ein Spezialfall der exakten DGL gewesen

2) Exakte bzw. Totale DGL

g(x,y) + h(x,y)*y’ = 0 wobei gilt :gy' = hx' (immer zuerst überprüfen!)

Es wird davon ausgegangen, dass es eine Funktion F(x,y) gibt, für die gilt:

F’x = g(x,y) Wie schon bekannt gilt, dass die Kreuzableitungen

F’y = h(x,y) (2. Partielle Abl.) einer Funktion immer identisch sind

F’xy = g’y = h’x = F’yx

Beispiel 15.3.2, S.8

Zum Bestimmen von F(x,y):

G(x,y) + ò (h(x,y) - Gy'(x,y))dy = c

So kommt man darauf:

x

y y

y

I: F(x,y) = F' c(y)= g(x,y)dx+c(y)= G(x,y)+c(y)

II: diese Funktion nach y ableiten: F' =G' (x,y)+c'(y)=h(x,y)

III: umgeformt ergibt sich: c'(y) = h(x,y) - G' ( , )

IV: Integrieren ergibt: c(y) = h(x

dx

x y

ò + ò

ò ,y)-G'y (x ,y)dy in I einsetzen

Beispiel 1:

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 x 2 x x

x x

x

2 x 2 x

x

y

2y x e 2 ' 0 g=2y xe und h=2ye

total? gy' = 4yxe h ' 4xye ja!

G = g(x,y)dx = 2y xe dx = y e

G ' = 2ye

c(y) h(x,y)-

+ yex y = ®

>
ò

>
ò

2 2

2

x x

2 x

G(x,y)'y dy = (2ye 2ye )dy 0dy ist die Lsg des 2. Terms

F(x,y)= G(x,y)+c(y)=y e +0= c ist die Gesamtlösung

ò ò - = ò

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Beispiel 2:

x

y x

x x

y

x

y + e (x + cosy) y' = 0

total? g' 1 und h' 1 ist gleich JA!

G = (y + e )dx = xy + e

G ' = x

( ) ( ( , ) ' ( , )) (x + cos y - x) dy = cos y dy = sin y

allg. Lsg.: G(X,y)+c(y) = xy + e

c y h x y G y x y dy

+

= = ®

ò

= ò - = ò ò

+ sin y = c

Aufgabe 5.1.b rechnen

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3) Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen

F(x,y,y‘) = g(x,y)+h(x,y)*y‘ = 0

Spezialfall homogene DGL :

g(x,y) = -g

y

x

æ ö

ç ÷

è ø

und h(x,y) = 1

somit ergibt sich g(x,y)+y‘=0 und daraus y‘ = g

y

x

æ ö

ç ÷

è ø

= g(z)

Die Bezeichnung Ähnlichkeitsdifferentialgleichung leitet sich aus der Tatsache ab, dass mit jeder Lösung y(x)

auch jede durch Ähnlichkeitsabbildunge bzgl. Des Koordinatenursprungs aus y(x) hervorgehende Funktionen

wiederum eine Lösung darstellen.

y

Subst.: z = bzw.: y = z x nach x Ableiten: y' = x z' + z, da

x

y = u v mit u = z und v = x wird zu

y' = u'v + uv' mit u' = z' und v' = 1

× ×

×

y’ = xz’ + z mit y’ = g(z) gleichsetzen

Beispiel:

2

2

2 2

y y

y' >
x x

y

Subst. z = mit y' = x z' + z

x

y y

Gleichsetzten von y' = und y' = x z' + z ergibt:

x x

dz

xz' + z = z -z wird zu xz' = -z , bzw.: x

dx

- æ ö ç ÷

è ø

×

- æ ö × ç ÷

è ø

= -z2

alles was ein x enthàlt wird auf eine Seite gebracht, alles was ein z enthàlt wird auf die andere Seite gebracht

und anschließend integriert.

2

dz dx

-

z x

1

lnx c

z

x x

Rücksubst.: ln oder y >
y ln x

x c

c

ò = ò

= +

= +

+

Aufgabe 5.1.c rechnen

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4) Lineare DGL

Ein DGL heißt linear, wenn die Funktion F(x,y,y(1),...,y(n)) = 0 eine lineare Funktion ist, d.h. wenn die DGL die

Form:

F(x,y,y(1),...,y(n)) := pn(x)y(n)+...+p1(x)y(1)+p0(x)y - r(x) = 0 hat,

wobei die pi und r in einem Intervall stetige Funktionen der Variablen x sind.

Lineare DGL 1. Ordnung

p1(x)y(1)+p0(x)y = r(x) | : p1

y' + p(x) × y = q(x)

bei r(x) bzw. q(x) = 0: dann linear homogen ® Lsg. über Trennung der Variablen

ansonsten linear inhomogen® Lsg. mit Eulerischen Multiplikator eò p(x)c

allgemeiner Lösungsweg

y' + p(x) × y = q(x) |* eP(x) (Achtung, das P ist groß uns somit das Integral von p(x))

eP(x) y‘ + eP(x) p(x) y = eP(x) q(x)

Ab hier entweder:

| ò Anwendung der Produktregel für Funktionen

eP(x) y = òep(x) q(x) dx

y = e-p(x) òep(x) q(x) dx

Oder alternativ :

eP(x) p(x) y - eP(x) q(x) + eP(x) y‘ = 0 exakte DGL (ist aber etwas umstàndlicher als Alternative a)

Bsp. 15.5.3, S.19 bringen

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Mathematik II für WiWi’s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml

Beispiel:

x2 y' + (-2x) y = e

Ausführlicher Weg:

p(x): -2x dx = -x2 Eulerscher Multiplikator: m(x) = e-x2 macht aus DGL exakte DG

beide Seiten damit multiplizieren

ò ®

®

2

2 2 2 2 2 2

2

2

-x -x -x

-x

e y' - 2xe y e 1 | Integrieren nach y

e y = x + c nach y hin auflösen

x

x x x

x

e

e e

e

= + = - = >
®

y = ex2 (x+c)

Nur über Verwendung der Formel:

y(x) = e-P(x) × (c + òr( x) ×eP(x)dx) = 2 2 2 ex × (c + ò ex e-x dx) = ex2 (x+c)

Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer spez.

Lösung der inhomogenen DGL.

Aufgabe 5.1.d rechnen

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Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

Typ: y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x)

a) homogene Lösung

a1) einfachster Fall: y'' = 0

damit vereinfacht sich die obige Formel zu:

p(x) y' + q(x) y = 0

ersetzt 1

-q(x)

y' = = c

p(x)

damit ergibt sich: yÁx +c2

Diese Lösung besitzt immer 2 freie Konstante

a2) Allgemeiner Fall

Nützliche Aussagen über die „Bauart“ der allgemeinen Lösung:

1 2

1 2

Ein Paar y , y von Lösungen heißt l.u., wenn es keine Konstante

c gibt, für die gilt:

y (x) = c y (x)

ÎR

×

Sind y1 und y2 l.u. (spezielle Lösungen), so ist auch jede Linearkombination von ihnen Lösung;

sie bilden die allgemeine Lösung. (Siehe auch Def. Fundamentalsystem, S. 22, Skript)

Ziel: finden von zwei linear unabhàngigen Lösungen

Bsp: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffiziente (Vergleiche dazu Skript, S. 24):

y = e x y' = e x y'' = 2e x

für spez. Werte von ergeben sich spez. Lsg. der DGL

einsetzen in y'' + py' + qy = 0 ergibt:

l l l l l

l

2 x x x x

2

e p e + qe 0 |:e

p +q = 0 charakteristische Gleichung, deren NS spezielle Lösung darstellen.

l l + l l l = l

®l + l

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Es lassen sich 3 Fàlle unterscheiden (Einsetzen von unterschiedlichen Werten für p und q):

1. Fall: 2 verschiedene reelle NS:

Setze p = 3 und q = 2

2

1 2

y'' + 3y' + 2y = 0

l + 3l + 2 = 0 ®l = -1; l = -2

Durch Linearkombination der beiden Eigenwerte erhàlt man die allgemeine Lösung des Problems:

-x -2x

y = c1e +c2e

2. Fall: 1 reelle NS

Setze p = 2 und q = 1

1

2

2

y'' + 2y' + y = 0

l + 2l +1 = 0 ®l = -1

Auch hier erhàlt man durch Linearkombination der beiden Eigenwerte die allgemeine Lösung:

-x -x

y = c1e + c2xe Herleitung über die Variation der Konstanten

3. Fall: Komplexe NS

1

2

2

-x

1 2

z.B. y'' + 2y' + 2y = 0

2 2 = 0 1 1 2 1 1 i

allg. Lsg.: y = e (c cosx + c sin x)

l + l + l =- ± - = - ± ×

®

mit p = 2 und q = 2

Aufgabe 5.1.e ii und i rechnen

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Anfangswertaufgabe:

Suche nach spezieller Lösung, die den Anfangswertbedingungen für y und y’genügt.

Weiterführung des Beispiels aus Fall 1:

-x -2x -x -2x

1 2 1 2

1 2

1

y'' + 3y' + 2y = 0 mit y (0) = 3

und y' (0) = -5

allg. Lsg.: y = ce ce y' = -ce 2c e

y (0) = 3 : 3= c c

y (0) 5:

+ -

+

= - 1 2 1 2

-x -2x

5 c 2c c 1 c 2

spez.Lsg.: y = e 2e

- =- - ® = >
+

b) Inhomogene DGL:

allg. Lösung setzt sich zusammen aus Lösung der homogenen DGL und einer beliebigen spez. Lösung der

inhomogenen DGL

Skript: Reduktion der Ordnung (Var. der Konstanten)

· man kennt eine Lösung der homogenen DGL ( ) 1 y(x)

· die inhomogene hat dann eine spez. Lösung y(x) = y1(x)× z(x)

· durch Einsetzen der Lösung y(x) in die inhomogene DGL reduziert sich deren Ordnung und wird lösbar:

pn(x)y(n)+...+p1(x)y(1)+p0(x)y = 0 hat eine Lösung der Form y = y1(x) z(x)

Beispiel 15.5.6, Seite 20/21 Skript:

3y + xy’ – x2y’’ = 0 hat als eine Lösung y1 = x3 und somit auch y(x) = x3 z(x)

dies setzt man ein in die obige Formel und erhàlt z = x-4 und somit auch y >
1

x

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Beispiel:

y'' - y = 2

1. Lösung des homogenen Teils:

2 x x x

y'' + py' + qy = 0 mit p = 0 und q = -1

l el + plel + qel = 0

1

2

l2 -1= 0 ®l = ±1

Damit ergibt sich als eine Lösung:

x

y1(x) = e

2. Eine spezielle Lösung des inhomogenen DGL

x

s

x x

x x x x

Ansatz y z(x) e

y' = z'e ze

y'' = z''e z'e z'e ze

= ×

× +

+ + +

einsetzen in y'' - y = 2 ergibt

x x x x

x x

x x -x

-x

z''e 2z'e +ze ze 2

z''e 2z'e = 2 Subst. u = z'

u'e 2ue = 2 e

u' + 2u = 2e

+ - >
+

+ ×

Bestimmung der Eulerschen Zahl

-x 2dx 2x

2x 2x -x 2x x

2x x

-2xx -

u' + 2u = 2e lineare DGL m = e e

e u' + 2e u = 2e e 2e integrieren

e u = 2e

u = e 2e 2e x z' z = -2e

ò

-

>
× >
×

= = ® x

-x x

® ys = -2e × e = -2

3. Die allgemeine Lsg. Des inhomogenen DGL

x -x

y(x) = c1e + c2e -2

homogene Lösung + spezielle Lösung

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einfacher (aber nicht im Skript): Koeffizientenvergleich

rechte Seite linke Seite

s

n n

o 1 n o 1 n

bx bx

1

r(x) Ansatz y ( )

r x +...+ rx s s x +...+ s x

ae ce homogene Lösung

a sin bx +

x

+ r +

a 2 cos bx A sin bx + B cos bx

Ist r(x) Summe von o.g. Ausdrücken muß auch als Ansatz deren Summe gewàhlt werden;

sie können auch getrennt berechnet werden:

s o

0 o

2

Bsp. von eben: y'' - y = 2 r(x) = 2

Ansatz y s y' = 0 y'' = 0

einsetzen -s 2 s 2 als spez. Lsg.

Bsp.: y'' + 2y' + 2y = 2x 2

®

= ® ®

= ® = -

+

-x

h 1 2

2

s o 1 2

s 1 2

s 2

homogene Lsg.: y e (c cos x + c sin x)

Ansatz y s s x + s

y' = s 2s x

y'' = 2s

x

>
= +

+

2 2

2 1 2 o 1 2

2

2 2

2 1 1 1

einsetzen: 2s 2s 4s x + 2s 2s x + 2sx 2x 2

Koeffizientenvergleich:

x :2s 2 s 1

x : 4s 2s 0 4 2s 0 s

+ + + = +

= ® >
+ = ® + = ® = -

2 1 o 0 0

2

c : 2s + 2s +2s = 2 ®2- 4+ 2s =2 ®s = 2

2

s

-x 2

1 2

spez. Lsg: y 2 2x x

allg.inh.Lsg.: y = e (c cos x + c sin x) + 2 - 2x + x

= - +

Lineare Differentialgleichungen in der Ökonomie

Wachstumsmodell für das Volkseinkommen nach Boulding

Differentialgleichungsmodell der Versicherungsmathematik

(Selber durchlesen, S.28 und 29, Skript)

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