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Kann es auflösbare Gleichungen in zwei Variablen geben?

19/08/2015 - 22:25 von IV | Report spam
Hallo,

zum Auflösen einer Gleichung in zwei Variablen durch Gleichungsumformung
wird ja noch eine zweite Gleichung der Variablen benötigt. Kann man das
irgendwie mathematisch korrekt beweisen? Ich denke vor allem an Gleichungen
mit komplexen Variablen und komplexen Funktionswerten.

Danke.
 

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#1 Christian Gollwitzer
20/08/2015 - 03:40 | Warnen spam
Am 19.08.15 um 22:25 schrieb IV:
zum Auflösen einer Gleichung in zwei Variablen durch Gleichungsumformung
wird ja noch eine zweite Gleichung der Variablen benötigt. Kann man das
irgendwie mathematisch korrekt beweisen? Ich denke vor allem an
Gleichungen mit komplexen Variablen und komplexen Funktionswerten.



Das ist grundlegende Topologie. Jede skalare Gleichung reduziert die
Dimension des Lösungsraumes um 1. Angenommen, Du hast zwei Variablen aus
R und gar keine Gleichung. Dann betràgt die Dimension des Lösungsraumes
L zwei, denn ganz R^2 ist eine Lösung des "Systems". Schreibst Du dann
eine skalare Gleichung, etwa x=3y+5, dann reduzierst Du die Dimension um
eins und es kommt eine Linie heraus. Das hat überhaupt nichts damit zu
tun, ob Du die Lösung durch Umformen, numerisch oder graphisch ermittelst.

Jezt gibt es die Gemeinheit, dass man auch eine Tautologie aufschreiben
kann. Etwa x=x oder 0=(y-y)*x o.à. In diesen Fàllen reduziert sich die
Dimension nicht weiter. Noch dazu lassen sich z.B. drei Gleichungen
aufschreiben, von denen keine eine Tautologie oder Kopie ener anderen
ist, und trotzdem sind es nur zwei Bedingungen.

Für rein lineare oder affine Systeme kann man das exakt aus der
Systemmatrix ableiten, es sei das System als Ax=y gegeben, A aus Rnxn,
x,y aus R^n, dann ist dim(L) = n-dim(Ker A), wobei Ker A der Kern von A
ist. Für affine Systeme Ax-y=b gilt Ähnliches, das weiß ich gerade nicht
mehr genau. Für nichtlineare Systeme gilt es im Prinzip analog, aber:
Man kann kein automatisiertes Verfahren finden, welches die Anzahl
Lösungen bestimmt. Das folgt aus dem Nulvergelichsproblem. Rein
praktisch führt es meist eher dazu, dass bei einem nichtlinearen System
mehrere Mengen Lösungsràume sind. Etwa x=y^2, hier gibt es zu jedem y
eine weitere Lösung bei -y. Diese Mengen können auch disjunkt sein - da
fàllt mir gerade ken Beispiel ein. Es sind aber trotzdem Linien (wenn
auch krumme), denn wir reduziere die Anzahl Dimensionen mit einer
skalaren Gleichung genau um eins.

Falls Deine Variablen komplex sind, gilt àhnliches - beachte aber, dass
eine komplexe Gleichung zwei reellen entspricht. So bedeutet x=y^2, mit
x, y aus C ja

(1) Re (x-y^2) = 0
(2) Im (x-y^2) = 0

reell betrachtet sind das zwei Gleichungen mit vier Unbekannten, ergo
einer zweidimensionalen Lösung. Komplex betrachtet ist es eine Gleichung
mit zwei Unbekannte, ergo einer eindimensionalen Lösungsmenge aus C -
die zwei Komponenten hat und somit kommt das gleiche Ergebnis raus.

Christian

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