Kardinalität stetiger reelwertiger Funktionen

09/10/2008 - 14:16 von Carsten | Report spam
Ich bin zufàllig über eine (dachte ich) kleine Aufgabe gestolpert:

Ist die Kardinalitàt der stetigen reelwertigen Funktionen auf [0,1]
größer als die Kardinalitàt von IR?

Für nur reelwertige Funktionen ist das ja relativ einfach zu zeigen,
indem man zu einer Abbildung f: IR -> ([0,1] -> IR) eine Abbildung g:
[0,1] -> IR konstruiert, die sich für alle x von (f(x))(x)
unterscheidet.

Im stetigen Fall stehe ich aber voll auf dem Schlauch.
Konstruktion dürfte ziemlich aussichtslos sein, da es mit der
"Selbstbezüglichkeit" so nicht mehr funktionieren kann.
Ich nehme aber ann, dass die Kardinalitàt trotzdem größer als die von
IR ist.

Ich vermute außerdem, dass es hilft sich auf den Fall stetiger
Abbildungen von [0,1] auf sich selbst zu beschrànken, da ja [0,1] und
IR die gleiche Kardinalitàt haben.

Irgendwie spukt mir auch noch der Zwischenwertsatz im Kopf rum ... ich
komm aber einfach nicht weiter.

Ich würde das schon gerne selbst rausknobeln - vielleicht kann mir ja
jemand einen Anstoß geben (ist den die Vermutung wenigstens richtig?).

Danke
 

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#1 Jan Fricke
09/10/2008 - 14:47 | Warnen spam
Carsten wrote:
Ich bin zufàllig über eine (dachte ich) kleine Aufgabe gestolpert:

Ist die Kardinalitàt der stetigen reelwertigen Funktionen auf [0,1]
größer als die Kardinalitàt von IR?

Ich würde das schon gerne selbst rausknobeln - vielleicht kann mir ja
jemand einen Anstoß geben (ist den die Vermutung wenigstens richtig?).



Es ist schwierig, da einen kleinen Denkanstoß zu geben, deshalb ROT13:

Jvrivry fbypure fgrgvtr Shaxgvbara zvg engvbanyrz Heovyqenhz tvog rf?

Viele Grüße Jan

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