Kategorie einer bestimmten Art von Relation

06/12/2007 - 11:24 von Dirk Thierbach | Report spam
Seien A und B zwei Mengen, und R eine Relation dazwischen, so dass es
fuer jedes a aus A hoechstens ein b aus B gibt, und umgekehrt. (Wenn
man so will, eine Bijektion, bei der Start- und Zielmenge noch etwas
"aufgeblasen" sind). Hat so etwas einen ueblichen (deutschen, oder
englischen) Namen?

Sind Mengen X, A, B sowie zwei Relationen zwischen X,A und X,B gegeben,
dann kann man wohl "groesste" und "kleinste" Mengen Y mit passenden
Relationen nach A und B konstruieren, die folgendes Diagramm kommutieren
lassen:

X A
| :
| :
B ... Y

Bei einem "kleinsten" Y sind nur die Elemente aus A und B drin, die
durch X identifiziert werden (so etwas wie ein "Schnitt"), bei einem
"groessten" sind zusaetzlich die disjunkte Vereinigung der restlichen
Elemente aus A und B dabei. Kann man diese Konstruktion irgendwie
durch universelle Eigenschaften charakterisieren? Moeglicherweise,
indem man eine Ordnung auf den Relationen ausnutzt? Oder sind die
genannten Relationen in diesem Kontext die voellig falsche Sichtweise?

Dank im Voraus fuer alle Ideen,

- Dirk
 

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#1 Achim Blumensath
06/12/2007 - 13:31 | Warnen spam
Hallo,

Dirk Thierbach wrote:
Seien A und B zwei Mengen, und R eine Relation dazwischen, so dass es
fuer jedes a aus A hoechstens ein b aus B gibt, und umgekehrt. (Wenn
man so will, eine Bijektion, bei der Start- und Zielmenge noch etwas
"aufgeblasen" sind). Hat so etwas einen ueblichen (deutschen, oder
englischen) Namen?



Ich würde es eine "partielle Bijektion" nennen.

Sind Mengen X, A, B sowie zwei Relationen zwischen X,A und X,B
gegeben, dann kann man wohl "groesste" und "kleinste" Mengen Y mit
passenden Relationen nach A und B konstruieren, die folgendes Diagramm
kommutieren lassen:

X A
| :
| :
B ... Y

Bei einem "kleinsten" Y sind nur die Elemente aus A und B drin, die
durch X identifiziert werden (so etwas wie ein "Schnitt"), bei einem
"groessten" sind zusaetzlich die disjunkte Vereinigung der restlichen
Elemente aus A und B dabei.



Wieso kann man nicht noch weitere Elemente in Y aufnehmen? (Oder hast Du
"größte" einfach so definiert?)

Kann man diese Konstruktion irgendwie durch universelle Eigenschaften
charakterisieren? Moeglicherweise, indem man eine Ordnung auf den
Relationen ausnutzt? Oder sind die genannten Relationen in diesem
Kontext die voellig falsche Sichtweise?



Anstelle die Kategorie der Mengen mit partiellen Bijektionen zu
betrachten, wie wàre es, wenn Du die Kategorie aller injektiven
Funktionen A_0 -> A anschaust, wobei die Morphismen

(A_0 -> A) --> (B_0 -> B)

einfach aus Funktionen A_0 -> B_0 bestehen? Dann wàre eine partielle
Bijektion A -> B ein einfach ein Isomorphismus in dieser Kategorie.

Achim
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www.mathematik.tu-darmstadt.de/~blumensath /"\ o-|
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