Kegelvolumen

20/02/2008 - 16:05 von Amy | Report spam
Hallo Mathematiker :-)

ich habe ein Problem bei der Anwendung der Grenzwertrechnung.
Es steht als Übungsaufgabe an, das Volumen eines geraden Kreiskegels
herzuleiten, indem ein Stufenkörper aus Zylindern benutzt wird.
Einmal sollen die Zylinder innen und einmal außen liegen.

An der Stelle mit dem Grenzübergang für n gegen unendlich stehe ich
aber
auf dem Schlauch.

Die Skizze, die ich von der Aufgabenstellung gegeben habe, besitzt 3
Zylinder,
die den Kegel von außen einschließen.

V_Kegel ist ja = pi / 3 R^2 * h
V_Zyl = pi R^2 * h

Der gegebene Stufenkörper hat also
V_SK_3 = V_zyl1 + V_zyl2 + V_zyl3
= pi * h / 3 * R_1^2 + pi * h / 3 R_2^2 + pi * h / 3 * R_3^2.

Für jede Stufe kommt ein Term dazu und die Höhe wird immer feiner
zerhackt.
Wenn ich jetzt einen Körper mit n Stufen nehme und n unendlich groß
wird,
bekomme ich das Kegelvolumen:

V_SK_n = pi * h * 1/n * (R_1^2 + R_2^2 + ... + R_n^2)

Doch wie werte ich den Grenzwert dieser Formel aus?
Stimmt es bis hierher überhaupt?
Welchen Unterschied gibt es dann zur Herleitung, wenn die Zylinder
innen
in den Kegel eingeschrieben sind?

ratlos ...
MfG
 

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#1 earthnut
20/02/2008 - 17:41 | Warnen spam
Amy wrote:

Hallo Mathematiker :-)

ich habe ein Problem bei der Anwendung der Grenzwertrechnung.
Es steht als Übungsaufgabe an, das Volumen eines geraden Kreiskegels
herzuleiten, indem ein Stufenkörper aus Zylindern benutzt wird.
Einmal sollen die Zylinder innen und einmal außen liegen.

An der Stelle mit dem Grenzübergang für n gegen unendlich stehe ich
aber
auf dem Schlauch.

Die Skizze, die ich von der Aufgabenstellung gegeben habe, besitzt 3
Zylinder,
die den Kegel von außen einschließen.

V_Kegel ist ja = pi / 3 R^2 * h
V_Zyl = pi R^2 * h

Der gegebene Stufenkörper hat also
V_SK_3 = V_zyl1 + V_zyl2 + V_zyl3
= pi * h / 3 * R_1^2 + pi * h / 3 R_2^2 + pi * h / 3 * R_3^2.

Für jede Stufe kommt ein Term dazu und die Höhe wird immer feiner
zerhackt.
Wenn ich jetzt einen Körper mit n Stufen nehme und n unendlich groß
wird,
bekomme ich das Kegelvolumen:

V_SK_n = pi * h * 1/n * (R_1^2 + R_2^2 + ... + R_n^2)

Doch wie werte ich den Grenzwert dieser Formel aus?



Als nàchstes musst du die R_n einsetzen.

Stimmt es bis hierher überhaupt?



Ich habs nicht im Detail verfolgt, aber prinzipiell sieht es richtig
aus.

Welchen Unterschied gibt es dann zur Herleitung, wenn die Zylinder
innen
in den Kegel eingeschrieben sind?



Du nàherst dann das Volumen "von unten" an. Momentan wird das Volumen
für die Zylinder wenn du n erhöhst immer ein bischen kleiner. Würdest du
die Zylinder nehmen, die in den Kegel rein passen, würde das Volumen bei
jedem Schritt ein stückchen größer werden.

Wenn man von beiden Richtungen annàhert, gilt übrigens immer:

V_{Zylinder,innen;n} <= V_Kegel <= V_{Zylinder,außen;n}

Die Grenzen gehen nun immer weiter zusammen und am Ende erhàlt man für
beide tatsàchlich das selbe Volumen als Grenzwert. Das stimmt dann mit
dem Volumen des Kegels überein.

Schau dir auch mal deine Zeichnungen an. Wenn du die Zylinder außen hast
und um eine Stufe (also h/n) nach unten verschiebst, sind es genau die
Zylinder innen. Bis auf dem untersten, den brauchst du dann nicht mehr.
Der unterste Zylinder hat das Volumen pi * h * 1/n * R^2. Das ist auch
genau der Unterschied zwischen dem àußeren Volumen und dem inneren
Volumen im n-ten schritt. Wenn nun n gegen unendlich geht geht dieses
Volumen gegen null (der Zylinder wird eine immer flachere Scheibe).

Bastian


ratlos ...
MfG

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