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Kettenbruch/Continued fraction

15/03/2010 - 18:24 von Gottfried Helms | Report spam
Hi -

ich suche eine geeignete Quelle für ein Verfahren mit den Kettenbruch-
koeffizienten, das ich letztens zwar nach Pi-x-Daumen praktischerweise
verwendet habe, das ich jetzt aber gerne verifizieren würde.

Folgende Aufgabe: bestimme die besten Annàherungen von 2^S an 3^N
für Paare von natürlichen S und N.
Man kann die optimalen Koeffizeiten finden durch die Kettenbruch-
entwicklung log(3)/log(2), nennen wir das ld3 ("log duale von 3")

Die KB-Koeffizienten von ld3 sind

[1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, 2, 23, 2, 2,...

Die partiellen Konvergenten sind dann

1/1 2/1 3/2 8/5 19/12 65/41 84/53

mit den "extremstellen"

2^1/3^1 = 2/3 = 0.666666666 ...
2^2/3^1 = 4/3 = 1.333333333 ...
2^3/3^2 = 8/9 = 0.888888888 ...
2^8/3^5 = 256/243 = 1.05349794239...
2^19/3^12 = 524288/531441 = 0.986540368545...
2^65/3^41 = ... = 1.01152885181...
2^84/3^53 = ... = 0.997914046257...

und die "Konvergenten" stellen eine sich strikt
verengende Folge von Intervallschachtelungen dar.

Nun sind diese Konvergenten in einem Sinne Extrempunkte -
die Intervallschachtelung verengt sich auch bei dazwischen-
liegenden Konvergenten, die man anscheinend einfach finden kann -
und hier liegt meine soweit unbelegte Heuristik.



Betrachtet man z.B. nur die Folge der absteigenden Konvergenten

2^2/3^1 = 4/3 = 1.333333333 ...
2^8/3^5 = 256/243 = 1.05349794239...
2^65/3^41 = ... = 1.01152885181...

und nur die Exponenten von 3, dann kann man die Folge vervoll-
stàndigen durch einfache arithmetische Progressionen, hier mit
dem Sternchen (*) markiert:

2^2/3^1 = 4/3 = 1.333333333 ...
* 2^5/3^3 = 32/27 = 1.18518518519
2^8/3^5 = 256/243 = 1.05349794239...

2^8/3^5 = 1.05349794239...
* 2^27/3^17 = 1.03931824834
* 2^46/3^29 = 1.02532940776
2^65/3^41 = 1.01152885181

wobei aparterweise die Progressionen ebenfalls in der
Folge der Konvergenten zu finden sind.
Kurz gesagt, ich nehme die Nenner der Konvergenten, das ist
die Folge
1, 1, 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665, 15601, 31867, 79335, ...

und aufeinanderfolgende triple "a (b) c" definieren eine
forstep-Programmroutine;
1 (2) 5 (12) 41 (53) 306 (665) 15601 (31867) 79335, ...

for k= 1 step 2 to 5,
for k= 5 step 12 to 41
for k = 41 step 53 to 306,

so daß die folgenden Exponenten für die Potenz von 3
1,3,5
5,17,29,41
41,94,...306,
die dichteste Folge sich strikt verengender Intervall-
schachtelungen, oder besser: Approximationen an 1 von
oben darstellt.

Für die entsprechenden Approximationen von unten geht
das ganz analog, wir verwenden dann einfach

1 (1) 2 (5) 12 (41) 53 (306) 665 (15601) 31867 (79335) ...


Und, im Endeffekt verwende ich natürlich nicht die Potenzen
(das mach ich hier im Beispiel nur wegen der größeren
Anschaulichkeit) sondern die Logarithmen in der Form
| S*log(2) - N*log(3) |
bzw
| S- N*log(3)/log(2) |
bzw
frac (N*ld3 )
als Approximationskriterium.



Leider ist die Zeit, als ich viel über Kettenbrüche gelesen
habe lange her, so daß ich jetzt nicht mal eine gute Idee
habe, wo ich diese Art Algorithmus gesehen haben könnte, oder
aus welcher "offiziellen" Beschreibung man das einfach
herleiten kann.
Hat jemand einen Tip? Wàre jedenfalls einfacher, als jetzt
selber einen Beweis aufzubauen...

Gruß -

Gottfried
 

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#1 k. Schubser
16/03/2010 - 09:53 | Warnen spam
Gottfried Helms schrieb:

Folgende Aufgabe: bestimme die besten Annàherungen von 2^S an 3^N


ich schreibe i.F. lieber Kleinbuchstaben s und n
für Paare von natürlichen S und N.



Das verstehe ich nicht ganz:

Ich vermute mal: Du willst ld3
(=der Logarithmus von 3 zur Basis 2)
annàhern durch den Bruch s/n.

Tun wir mal so als wàre ld3 rational (was es bekanntlich nicht ist)

Dann làßt sich ld3 = s/n umformen zu

2^(s/n)=3 oder 2^s = 3^n.

Deshalb nehme ich an, dass du Folgendes
meinst: ld3 soll angenàhert werden durch den Bruch s/n.
Wie Du schon bemerkst geht das am besten mit der
Kettenbruchentwicklung von
q=ld3=[1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,...]

Soweit bin ich mit Deiner Rechnung einverstanden.
Ich erhalte aber dann als Nàherungswerte für

_ld3 ungefàhr gleich s/m_

die von Dir abweichenden Werte:

1/1 Fehler:0,585
2/1 Fehler:-0,415
3/2 Fehler:0,085
8/5 Fehler:-0,015
19/12 Fehler:0,00163
65/41 Fehler:-0,000403
84/53 Fehler:5,68E-5
485/306 Fehler:-4,82E-6
1054/665 Fehler:9,47E-8
24727/15601 Fehler:-1,68E-9
50508/31867 Fehler:3,29E-10
125743/79335 Fehler:-6,66E-11
176251/111202 Fehler:4,67E-11
301994/190537 Fehler:-4,88E-13

gerechnet mit TTMathe
http://delphi.zsg-rottenburg.de/ttmathe.html

Ein ganz àhnliches Problem haben Musiktheoretiker.

Bekannt ist, dass 12 Quinten nicht ganz 7 Oktaven sind.
(Siehe pythagoràisches Komma).

Mathematisch weiß man: Die Frequenzverhàlnisse sind folgende:
Oktave 2/1
Quinte 3/2

Da man man mit Intervallen additiv rechnet
(z.B. Quinte+Quarte=Oktave), die Frequenzverhàlnisee
aber multipliziert 3/2*4/3=2/1 muß man
den Isomorhismus x->ldx der multiplikativen Gruppe in die
additive Gruppe bertachten und dann gilt exakt:

ld(3/2) Quinten sind eine Oktave.
Auf der Tastatur des Klaviers:

7 Halbtöne = Quinte
12 Halbtöne = Oktave

(Nebenbei bemerkt - das kann ich mir nicht verkneifen -:
Die meisten Klaviere sind gleichförmig gestimmt.
Das allerdings ruiniert - da nicht rein - die Harmonie,
um ein bekanntes Buch erschienen 2007 zu zitieren:
Siehe http://delphi.zsg-rottenburg.de/axi...m.html#lit ).

Die hörpsycholgischen Annàherungen sind
12/7 (Pythagoras) und
41/24 (gutes Gehör vorausgesetzt:
41 Quinten nach oben und zwischendurch - insgesamt 24 mal -
eine Oktave tiefer, ergibt (fast) denselben Ton).

meine Unersuchengen dazu
http://delphi.zsg-rottenburg.de/mus...tml#quinte
und
http://delphi.zsg-rottenburg.de/muslekt4b.html
könnten deshalb für Dich interessant sein.

Gruß K.
(bis zum Wochende vereist)

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