Kettenbruch zu w=Wurzel(2) und Potenzen von (1+w)

02/07/2008 - 23:37 von Rainer Rosenthal | Report spam
Vorbemerkung:
Dies ist eine deutsche Newsgroup, also verwende ich
zumindest im Titel den Ausdruck Wurzel(2). Im weiteren
benutze ich das gebràuchliche sqrt(2).

Und jetzt zum Thema:
Ist es die Hitze, das Alter oder ein Mysterium?
Schreibt man die Potenzen von (1+sqrt(2)) auf,
so bekommt man der Reihe nach:

n (1+sqrt(2))^n
-
1 1 + sqrt(2)
2 3 + 2 sqrt(2)
3 7 + 5 sqrt(2)
4 17 + 12 sqrt(2)
5 41 + 29 sqrt(2)
6 99 + 70 sqrt(2)
7 239 + 169 sqrt(2)
8 577 + 408 sqrt(2)
9 1393 + 985 sqrt(2)
10 3363 + 2378 sqrt(2)
...

Dabei stellen die Brüche 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, beste
Nàherungen für den Wert von sqrt(2) = 1.4142... dar,
wie sie als Partialbrüche der Kettenbruchentwicklung
anfallen.

Ich habe da erst einmal keine Erklàrung dafür, denn
ich sehe nur: a/b ~ sqrt(2) > a ~ b*sqrt(2), also
a+b*sqrt(2) ~ b*2*sqrt(2), kann aber damit nix anfangen.

Wo ist der Schlüssel zum Verstàndnis, bitte?

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

Lesen sie die antworten

#1 Jan Fricke
03/07/2008 - 00:09 | Warnen spam
Rainer Rosenthal wrote:
Ist es die Hitze, das Alter oder ein Mysterium?


Ja. Das war eine einfache Frage ;-)

Schreibt man die Potenzen von (1+sqrt(2)) auf,
so bekommt man der Reihe nach:

n (1+sqrt(2))^n
-
1 1 + sqrt(2)
2 3 + 2 sqrt(2)
3 7 + 5 sqrt(2)
4 17 + 12 sqrt(2)
5 41 + 29 sqrt(2)
6 99 + 70 sqrt(2)
7 239 + 169 sqrt(2)
8 577 + 408 sqrt(2)
9 1393 + 985 sqrt(2)
10 3363 + 2378 sqrt(2)
...

Dabei stellen die Brüche 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, beste
Nàherungen für den Wert von sqrt(2) = 1.4142... dar,
wie sie als Partialbrüche der Kettenbruchentwicklung
anfallen.

Ich habe da erst einmal keine Erklàrung dafür, denn
ich sehe nur: a/b ~ sqrt(2) > a ~ b*sqrt(2), also
a+b*sqrt(2) ~ b*2*sqrt(2), kann aber damit nix anfangen.

Wo ist der Schlüssel zum Verstàndnis, bitte?



Der liegt vermutlich in Rekursionen. Die Zàhler/Nenner der Kettenbrüche
kann man rekursiv berechnen. Die Potenzen von (1+sqrt(2)) ebenfalls.
Dort sollten die gleichen Rekursionsgleichungen stehen.

Das wird vermutlich für alle Zahlen der Form sqrt(a^2+1)-a so gehen.

Gute Nacht!


Jan

Ähnliche fragen