Kirchhoffsches Gesetz: Knotenregel, lineare Abhängigkeit (Graphentheorie?!)

04/02/2016 - 20:12 von Stephan Gerlach | Report spam
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In einem beliebigen Widerstands-Netzwerk (als planarer gerichteter Graph
darstellbar?) gilt die Knotenregel:

"In einem beliebigen Knoten K ist die Summe aller dort ein- bzw.
ausfließenden Ströme I_{k_1}, ..., I_{k_m} Null,
d.h.
Summe{j=1 bis m} I_{k_j} = 0".

(Für Nicht-Physiker: <https://de.wikipedia.org/wiki/Knotenregel#>.)

In jedem Widerstandsnetzwerk mit k Knoten ergeben sich somit aus der
Knotenregel genau k Gleichungen der oben genannten Form.

Betrachtet man einige einfache Beispiele dazu, so fàllt auf, daß diese k
Gleichungen immer linear abhàngig sind. Es existiert immer eine
Gleichung, die sich (als Zeile einer Matrix interpretiert) als
Linearkombination der anderen darstellen làßt.

Genauer habe ich die Vermutung, daß folgendes gilt:
Bezeichnet A die Koeffizientenmatrix des zu den Knotenregeln gehörigen
Gleichungssystems und k ihre Zeilenzahl (=Knotenzahl), so gilt
rang(A) = k-1.

Jedenfalls ist das bei den (einfachen) Beispielen so, die ich bisher mir
dazu "ausgedacht" habe.

Frage: Ist das immer so? Falls nicht: Gibt es ein Gegenbeispiel?


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Christian Gollwitzer
04/02/2016 - 21:37 | Warnen spam
Am 04.02.16 um 20:12 schrieb Stephan Gerlach:
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In einem beliebigen Widerstands-Netzwerk (als planarer gerichteter Graph
darstellbar?) gilt die Knotenregel:

"In einem beliebigen Knoten K ist die Summe aller dort ein- bzw.
ausfließenden Ströme I_{k_1}, ..., I_{k_m} Null,
d.h.
Summe{j=1 bis m} I_{k_j} = 0".

(Für Nicht-Physiker: <https://de.wikipedia.org/wiki/Knotenregel#>.)

In jedem Widerstandsnetzwerk mit k Knoten ergeben sich somit aus der
Knotenregel genau k Gleichungen der oben genannten Form.

Betrachtet man einige einfache Beispiele dazu, so fàllt auf, daß diese k
Gleichungen immer linear abhàngig sind. Es existiert immer eine
Gleichung, die sich (als Zeile einer Matrix interpretiert) als
Linearkombination der anderen darstellen làßt.

Genauer habe ich die Vermutung, daß folgendes gilt:
Bezeichnet A die Koeffizientenmatrix des zu den Knotenregeln gehörigen
Gleichungssystems und k ihre Zeilenzahl (=Knotenzahl), so gilt
rang(A) = k-1.

Frage: Ist das immer so? Falls nicht: Gibt es ein Gegenbeispiel?




Als Physiker kann ich Dir immerhin sagen, dass der rang(A)<=k-1 sein
muss, wenn alle Widerstànde positiv sind.


Begründung: Die Ströme skalieren linear, soll heißen dass Du aus einer
Lösung beliebig viele weitere bekommst, wenn Du sie mit einem konstanten
Faktor multiplizierst. Physikalisch treibt die Spannung den Strom an.
Eine echte Nulllösung kriegst Du nur, wenn Du einen Kurzschluss machst,
d.h. einer der Widerstànde wàre Null. Mathematisch siehst Du das daran,
dass Du oben ein homogenes Gleichungssystem hast (rechts steht immer
Null). Dann gibt es entweder nur genau eine Lösung (=Kurzschluss), oder
mindestens unendlich viele (Normalfall).

Christian

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