Klassifizierung von Lie-Algebren und Wurzelsystemen

27/11/2008 - 01:05 von TomS | Report spam
Hallo zusammen,

bin neu hier - also bitte Formfehler entschuldigen bzw. darauf
hinweisen - dann wird das geàndert.

Ich habe eine (bzw. in Summe wohl mehrere) Fragen zur Klassifizierung
von Lie-Algebren.

Ich verstehe, wie man von den Erzeugenden der Algebra auf die
Wurzelsysteme kommt, wie man daraus die Dynkin-Diagramme ableitet und
welchen Bezug diese zu den kristallographischen Gruppen haben.

Was ich nicht verstehe ist folgendes:
Wie kann man den Rückweg verstehen, also die Konstruktion der Algebra
aus den Dynkin-Diagrammen?
Wenn ich versuche, andere als die zunàchst erlaubten Dynkin-Diagramme
zu zeichnen, dann gibt es Fàlle, die komplett verboten sind, und es
gibt Fàlle, in denen man "sinnvolle" Erweiterungen wie affine oder
hyperbolische Lie-Algebren (Kac-Moody-Algebren) betrachten kann: was
funktioniert dann bei der Rekonstruktion der Algebra anders?
Was bedeuten affine bzw. unendlichdimensionale Lie-Algebren?
Kann man nun doch nahezu beliebige Gitter definieren und daraus eine
Algebra konstruieren?

Wàre nett, wenn jemand eine Idee dazu hat.
 

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#1 Sebastian Holzmann
27/11/2008 - 01:40 | Warnen spam
Hallo,

TomS wrote:
Ich habe eine (bzw. in Summe wohl mehrere) Fragen zur Klassifizierung
von Lie-Algebren.

Ich verstehe, wie man von den Erzeugenden der Algebra auf die
Wurzelsysteme kommt, wie man daraus die Dynkin-Diagramme ableitet und
welchen Bezug diese zu den kristallographischen Gruppen haben.

Was ich nicht verstehe ist folgendes:
Wie kann man den Rückweg verstehen, also die Konstruktion der Algebra
aus den Dynkin-Diagrammen?
Wenn ich versuche, andere als die zunàchst erlaubten Dynkin-Diagramme
zu zeichnen, dann gibt es Fàlle, die komplett verboten sind, und es
gibt Fàlle, in denen man "sinnvolle" Erweiterungen wie affine oder
hyperbolische Lie-Algebren (Kac-Moody-Algebren) betrachten kann: was
funktioniert dann bei der Rekonstruktion der Algebra anders?
Was bedeuten affine bzw. unendlichdimensionale Lie-Algebren?
Kann man nun doch nahezu beliebige Gitter definieren und daraus eine
Algebra konstruieren?

Wàre nett, wenn jemand eine Idee dazu hat.



Der Rückweg ist ja im Grunde simpel zusammengefasst: Man kann mit den
Daten aus dem Diagramm über Erzeuger und Relationen eine Lie-Algebra
definieren. Diese Rekonstruktion funktioniert in allen Fàllen, in denen
man von "nicht komplett verbotenen" Diagrammen ausgeht - aber in der für
Erzeuger/Relationen-Konstruktionen typischen Weise hat man nur wenig
Kontrolle über die Struktur, die am Ende rauskommt. Beliebige Gitter
kann man deshalb nicht verwenden, weil man ein nichttriviales Ergebnis
erhalten möchte: Wenn die Relationen nicht "zusammenpassen", erzwingen
sie, dass die Algebra der Nullraum ist, und der ist langweilig.

"Unendlichdimensional" bedeutet: Die Lie-Algebra ist als
Vektorraum von unendlicher Dimension.

"Affin" heißt eine Lie-Algebra, wenn sie mittels ihrer (gegenüber der
Theorie für endlichdimensionale Algebren etwas verallgemeinerten)
Wurzelraumzerlegung zu einer affinen Spiegelungsgruppe gehört.

Das waren jetzt zunàchst ein paar Schlagwörter, bei Gelegenheit kann ich
versuchen, noch den einen oder anderen Literaturhinweis unterzubringen.

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