Kleine nette zahlentheoretische Bastelei...

13/02/2010 - 12:44 von Gottfried Helms | Report spam
Ich war vor einigen Tagen auf das Problem gestoßen:
Kann man eine Potenzreihe

f(x) = 1 + x + x^2/sqrt(2!) + x^3/sqrt(3!) + ...

- also ein Analog zu der ganz gewöhnlichen Exponentialreihe,
bei der die Nenner lediglich durch deren Quadratwurzeln
ersetzt werden -
irgendwie geschlossen ausdrücken, z.B. durch eine Kombination
von exp(y) - Ausdrücken?

Ich konnte bisher keine eingàngige Lösung finden, aber die
Beschàftigung mit dieser und àhnlichen Reihen hat nette
Seiten. Vielleicht hat ja jemand Lust, sich hier mit auf
Entdeckungsreise zu begeben?

Nennen wir zur klareren Wiedererkennung die obige Funktion
f(x) als exp2(x) , und die entsprechend analogen Funktionen
sinh2(x), cosh2(x), sin2(x) und cos2(x).

1)
Dadurch, daß in den Nennern Wurzeln der Fakultàten mit
gleicher Ordnung (also überall die 2. Wurzel) erscheinen,
konvergieren diese quasi-Exponentialreihen immer noch überall,
sie sind -wie ihre Originale- "ganze Funktionen", auch wenn sie
sehr langsam konvergieren.

2)
Die Plots von sin2(x) und cos2(x) sind interessant: beide
Funktionen konvergieren nach einem Minimum bzw Maximum für
0 < x < 3 ziemlich gleichmàßig gegen Null - ein sehr
merkwürdiger Zufall wie ich finde.

3)
Wie veràndern sich die üblichen trigonometrischen Identitàten,
wenn sin durch sin2, cos durch cos2 etc ersetzt werden?


4)
Z.B. hoffte ich, durch irgendeine sinnvolle Operation

exp2(sqrt(x) ) * exp2( sqrt(x) )

in Beziehung zu exp(x) oder exp2(x) zu setzen. Die enstehende formale
Reihenmultiplikation führt nicht zu einem erkennbaren Vorteil,
aber wenn man das allgemeiner ausdrückt stellt man sich hier
die Frage nach der Grundfunktionalitàt der Exponentialfunktion
mit:

exp(a)*exp(b) = exp(a+b)

Was ist dann mit

exp2(a)*exp2(b) = ???

Wir bekommen die Reihe

1 + (a+b) + (a^2/sqrt(2!) + ab + b^2/ sqrt(2!))
+ (a^3/sqrt(3!) + a^2b/sqrt(2!) + ab^2/sqrt(2) + b^3/sqrt(3!))
+ ...

was man systematischer ausdrücken kann

1 + (a+b) + (a^2 + sqrt(2)ab + b^2) /sqrt(2!)
+ (a^3 + sqrt(3)a^2b + sqrt(3)ab^2 + b^3)/sqrt(3!)
+ ...

und das kommt den Termen des Produkts zweier Exponential-Funktionen
schon ziemlich nahe, außer daß die Binomial-Ausdrücke durch deren
Wurzeln ersetzt werden müssen: also statt bi(a,b) = binomial(a,b)

bi2(a,b) = sqrt(bi(a,b))

eingesetzt werden muß.

Das Binomialgesetz für die Potenzen einer Summe (a+b)^m muß hier
dann entsprechend ersetzt werden

pow (a , b , 3 ) = a^3 + bi (3,1) a^2 b + bi (3,2) a b^2 + b^3 = (a+b)^3
pow2(a , b, 3) = a^3 + bi2(3,1) a^2 b + bi2(3,2) a b^2 + b^3 = ???

und dann ist

exp2(a) * exp2(b) = sum_{k=0..inf} pow2(a,b,k)/sqrt(k!)

was dann wiederum die Form der exp2-funktion hat und man würde sinnvollerweise
hierfür die Schreibweise

exp2( (a,b) )

einführen. Dann ist

exp2(a) * exp2(b) = exp2( (a,b) )

und man könnte die Ursprungsnotation erweitern mit
exp2(a) = exp2((a,0))

5) Wie sieht ein Äquivalent der Formel für e bzw e^x aus

e^x = lim n->inf ( 1 + x/n)^n

Schàtze
lim n->inf pow( 1,x/sqrt(n), n) = exp2(x)

und für x=1
lim n->inf pow( 1,1/sqrt(n), n) = exp2(1) ~ 3.46950631452

es konvergiert aber extrem langsam.

-

Mal sehen, das entwickelt sich zu einer netten Bastelei, die einen
etwas seriöseren Anstrich erhàlt, wenn man die Ähnlichkeit zur Entwicklung
der q-Analoge aller möglichen Funktionen erinnert.

Was mich allerdings am meisten "beunruhigt" ist diese Konvergenz
gegen Null der sin2 und cos2-Funktionen. Irgendwie gehen da alle
Alarmsignale an - warum, weiß ich eigentlich auch nicht...

Dem Ziel, besser konvergierende Ersatzausdrücke für die Reihen
der exp2() Funktion und ihrer Verwandten zu finden, würde ich
allerdings gerne auch noch ein bißchen nàher kommen...

Gottfried
 

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#1 Gottfried Helms
13/02/2010 - 22:10 | Warnen spam
Erweiterung:

Am 13.02.2010 12:44 schrieb Gottfried Helms:
Ich war vor einigen Tagen auf das Problem gestoßen:
Kann man eine Potenzreihe

f(x) = 1 + x + x^2/sqrt(2!) + x^3/sqrt(3!) + ...

- also ein Analog zu der ganz gewöhnlichen Exponentialreihe,
bei der die Nenner lediglich durch deren Quadratwurzeln
ersetzt werden -



f(x,r) = 1 + x + x^2/(2!)^r + x^3/(3!)^r + ...

und die allgemeineren Bezeichnungen:
exp_r(x,r) = f(x,r) = ...
sin_r(x,r) = ...
etc.

Dann ist 2) noch interessanter:

2)
Die Plots von sin2(x) und cos2(x) sind interessant: beide
Funktionen konvergieren nach einem Minimum bzw Maximum für
0 < x < 3 ziemlich gleichmàßig gegen Null - ein sehr
merkwürdiger Zufall wie ich finde.



Es scheint so, daß *nur* cos_r(x,0.5) bzw sin_r(x,0.5) für x>3
monoton nach Null konvergiert (also es scheint dabei auch nicht
zu oszillieren!) und nur cos(x)=cos_r(x,1) und sin(x) wie bekannt
im konstanten Bereich oszilliert.
Ein paar andere getestete Werte für r führten zu divergierenden
Oszillationen - allerdings kann ich wegen der i.Allg schlechten
Konvergenz noch nicht wirklich viel dazu sagen. Hier bràuchte man
ein gutes Konvergenzbeschleunigungsverfahren!

Ganz entsprechend benötigen die exp_r(x,r)-Funktionen die
Potenzfunktionen pow_r(x,r) und die entsprechenden Binomiale
sind wiederum bin_r(a,b,r) = binomial(a,b)^r, und wir haben
exklusiv für die exp_r(x,1)-Funktion die funktionale
Beziehung

exp_r(a,b,1) = exp_r(a,1)*exp_r(b,1) = exp_r(a+b,1)
= exp(a+b)

wàhrend

exp_r(a,b,r) = exp(a,r)*exp(b,r) =/= exp(a+b,r) für r=/=1


Alles sehr ulkig...

Gottfried

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