Kleine Variante der "minimale Quadratsummen"-Aufgabe

01/06/2008 - 23:44 von Ulrich Lange | Report spam
Für ein gegebenes z=(z1,...,zn) e R^n betrachte ich diejenigen
x=(x1,...,xn) e R^n für die folgende "Quadratsummen-Bedingung" gilt:

(x1-z1)^2 + ... + (xn-zn)^2 <= R^2

Gesucht nun das x mit minimaler Quadratsumme. Es ist klar, das das

x0 =(1-R/Q)*z

sein muß, wobei Q die Quadratsumme von z ist. Gesucht ist aber ein
möglichst elementarer Beweis :-)

Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
 

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#1 mathemator
02/06/2008 - 06:49 | Warnen spam
Ulrich Lange wrote:

Für ein gegebenes z=(z1,...,zn) e R^n betrachte ich diejenigen
x=(x1,...,xn) e R^n für die folgende "Quadratsummen-Bedingung" gilt:

(x1-z1)^2 + ... + (xn-zn)^2 <= R^2

Gesucht nun das x mit minimaler Quadratsumme. Es ist klar, das das

x0 =(1-R/Q)*z

sein muß, wobei Q die Quadratsumme von z ist. Gesucht ist aber ein
möglichst elementarer Beweis :-)



Wàre micht Q, sondern Q^2 die "Quadratsumme von z", also Q die Norm des
Vektors z, dann erschiene mir die angegebene Formel für x0 einleuchtend,
denn dann erhàlt man das x mit minimaler Norm als Punkt der Hyperkugel
um Z mit Radius R, dessen Ortsvektor minimale Norm hat; dabei ist Z der
Punkt mit Ortsvektor z. Der Punkt X ergibt sich als Schnittpunkt der
Kugel(schale) mit der Strecke OZ.

Klaus-R.

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