Kleiner Goldbach: 2k+1 = p + 2*a^2

02/08/2015 - 15:03 von Rainer Rosenthal | Report spam
Im Thread "Palindrom-Zahlen: ist der Satz PALIEINS wahr?" kamen
wir auf Vermutungen zu sprechen, die erst durch großen Rechen-
aufwand widerlegt wurden(*). In dem von Helmut Richter dazu
geposteten Link [1] gefiel mir die von Goldbach aufgestellte
Vermutung, dass jede ungerade Zahl > 1 dargestellt werden könne
als Summe aus einer Primzahl und einem doppelten Quadrat:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Kleiner Goldbach:
Für alle k=1,2,... gibt es eine Primzahl p
und eine Quadratzahl a^2, so dass gilt

2k+1 = p + 2*a^2 (1)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Die ersten Gegenbeispiele 5777 und 5993 lassen sich bei geschickter
Programmierung schnell und bei ungeschickter Programmierung nach
einer halben Stunde Rechenzeit oder auch gar nicht finden ...
Das Problem ist eine hübsche Programmieraufgabe.

Hat man erst einmal ein paar Daten programmiert, dann hilft einem
die berühmte Online-Enzyklopàdie OEIS https://oeis.org/ weiter und
liefert Literatur-Referenzen sowie weiteres Zahlenmaterial.

Als ich heute früh mal für jede Zahl k ausgerechnet hatte, auf wieviele
Weisen die Zerlegung (1) möglich ist, kam ich auf die Zahlenfolge
1,2,2,1,2,3,2,1,3,3,2,3,1,2,4,1,2,4,3,2,3,3, ...
Gibt man das alles oder auch nur ein größeres Stück davon ins Suchfenster
der OEIS (ohne Leerzeichen!), landet man bei https://oeis.org/A046923
und kann von dort aus weiter im Wunderland der Zahlenthorie herumwandern.
Das angegebene PDF [2] bietet einen schönen Start.

Viel Vergnügen bei diesem Ferienspaß wünscht
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

(*) Eine weitere fàllt mir gerade ein: Eulers lateinisch-griechische
Quadrate und seine (falsche) Verallgemeinerung vom Offiziersproblem
auf 6x6 zu größeren Feldern 10x10, 14x14 usw. Hier wurde erst in
den 1960-er Jahren mittels Computer ermittelt, dass Euler sich irrte,
als er von der Unlösbarkeit im 6x6 Fall auf die Unlösbarkeit bei
nxn mit n = 6 + 4k "geschlossen" hatte. Inzwischen weiß man, dass
6x6 der einzige unlösbare Fall ist.

[1] http://math.stackexchange.com/quest...erexamples
[2] L. Hodges, A lesser-known Goldbach conjecture, Math. Mag., 66 (1993), 45-47.
 

Lesen sie die antworten

#1 Ralf Goertz
06/08/2015 - 10:08 | Warnen spam
Am Sun, 02 Aug 2015 15:03:37 +0200
schrieb Rainer Rosenthal :

Im Thread "Palindrom-Zahlen: ist der Satz PALIEINS wahr?" kamen
wir auf Vermutungen zu sprechen, die erst durch großen Rechen-
aufwand widerlegt wurden(*). In dem von Helmut Richter dazu
geposteten Link [1] gefiel mir die von Goldbach aufgestellte
Vermutung, dass jede ungerade Zahl > 1 dargestellt werden könne
als Summe aus einer Primzahl und einem doppelten Quadrat:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Kleiner Goldbach:
Für alle k=1,2,... gibt es eine Primzahl p
und eine Quadratzahl a^2, so dass gilt

2k+1 = p + 2*a^2 (1)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Die ersten Gegenbeispiele 5777 und 5993 lassen sich bei geschickter
Programmierung schnell und bei ungeschickter Programmierung nach
einer halben Stunde Rechenzeit oder auch gar nicht finden ...
Das Problem ist eine hübsche Programmieraufgabe.



Hallo Rainer,

da Du ja dazu ermahnt hast, nicht mehr im falschen Thread zu posten,
hier also ein Zwischenergebnis:

Nach gut einer Stunde Rechenzeit:

5777 cannot be written as p+2k².
5993 cannot be written as p+2k².

3635 seconds. Checked up to 1302.5 Million

Bisher kein Geschwisterchen in Sicht.

Ich denke, bis 4294967295 kann ich noch kommen. Dann müsste ich aber doch
wieder den Datentyp àndern.

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