Knifflige Doppelsumme

17/12/2008 - 00:09 von Christoph Niethammer | Report spam
Hash: SHA512

Hallo,

Ich versuche seit einigen Tagen vergebens die folgende Doppelsumme zu
berechnen:
\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(n+a)(m+b)(m+n+c)}


Ich habe schon einige Ansàtze zur Berechnung durch:

Eine Partialbruchzerlegungen für n oder m führt zu einer Summe der selben
Bauform.

Eine Umsortierung der Art s=m+n, r=m um eine Summe der Art
\sum_{s=0}^{\infty} \sum{r=0}^{s}
zu erhalten führt zu einer unendlichen Summe über Harmonische Zahlen, die vom
Summenindex abhàngen, so dass ich hier nicht weiterkomme.

Ein Versuch den letzten Faktor mittels der Formel
\frac{1}{n+m+c} = \int_{0}^{\infty} dt (e^{-t})^{n} (e^{-t})^{m} e^{-c t}
als Integral darzustellen um nach Grenzwertvertauschungen dann die
entkoppelten Einzelsummen über n und m zu berechnen liefert ein Integral über
ein Produkt zweier hypergeometrischer Funktionen, das ich in keiner
Formelsammlung finden konnte.
\int_0^\infty dx \; \frac{{_2}F_1(1+a,1;2+a;e^{-x})}{1+a}\; \frac{{_2}F_
(1+b,1;2+b;e^{-x})}{1+b} \; e^{-(2+c) x}


Über Hinweise und Ideen jeglicher Art wàre ich sehr dankbar.

Gruß
Christoph

PS: Im Spezialfall a=b=0 existiert eine analytische Lösung, die sich mit dem
zweiten Ansatz finden làsst. :-)
 

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#1 Horand.Gassmann
17/12/2008 - 00:18 | Warnen spam
On Dec 16, 7:09 pm, Christoph Niethammer
wrote:
Hash: SHA512

Hallo,

Ich versuche seit einigen Tagen vergebens die folgende Doppelsumme zu
berechnen:
\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(n+a)(m+b)(m+n+c)}

Ich habe schon einige Ansàtze zur Berechnung durch:

Eine Partialbruchzerlegungen für n oder m führt zu einer Summe der selben
Bauform.

Eine Umsortierung der Art s=m+n, r=m um eine Summe der Art
\sum_{s=0}^{\infty} \sum{r=0}^{s}
zu erhalten führt zu einer unendlichen Summe über Harmonische Zahlen, die vom
Summenindex abhàngen, so dass ich hier nicht weiterkomme.

Ein Versuch den letzten Faktor mittels der Formel
\frac{1}{n+m+c} = \int_{0}^{\infty} dt (e^{-t})^{n} (e^{-t})^{m} e^{-c t}
als Integral darzustellen um nach Grenzwertvertauschungen dann die
entkoppelten Einzelsummen über n und m zu berechnen liefert ein Integral über
ein Produkt zweier hypergeometrischer Funktionen, das ich in keiner
Formelsammlung finden konnte.
\int_0^\infty dx \; \frac{{_2}F_1(1+a,1;2+a;e^{-x})}{1+a}\; \frac{{_2}F_
(1+b,1;2+b;e^{-x})}{1+b} \; e^{-(2+c) x}

Über Hinweise und Ideen jeglicher Art wàre ich sehr dankbar.

Gruß
Christoph

PS: Im Spezialfall a=b=0 existiert eine analytische Lösung, die sich mit dem
zweiten Ansatz finden làsst. :-)



Was weisst du sonst noch über a und b? Was ist, wenn a oder b eine
negative Ganzzahl ist? Was möchtest du am Ende? Eine geschlossene
Lösung?

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