Knobel2

24/08/2007 - 19:29 von Alfred Flaßhaar | Report spam
Für paarweise verschiedene pos. ganze Zahlen x_i, i=1, ..., n, beweise
man:

x_1^3+ ...x_n^3 >= (x_1+ ... x_n)^2

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
 

Lesen sie die antworten

#1 Gottfried Helms
25/08/2007 - 21:28 | Warnen spam
Am 24.08.2007 19:29 schrieb Alfred Flaßhaar:
Für paarweise verschiedene pos. ganze Zahlen x_i, i=1, ..., n, beweise
man:

x_1^3+ ...x_n^3 >= (x_1+ ... x_n)^2

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar




Hmm, ich versuche es mal unkonventionell, "praktisch",
angefangen bei der bekannten Identitàt:

1^3 = 1^2
1^3+2^3 = (1+2)^2
1^3+2^3+3^3 = (1+2+3)^2
... ...


m m
sum k^3 =( sum k )^2
k=1 k=1

Es schrànkt nicht ein, die Werte x_1 ... x_n als geordnet
und x_1=a als kleinsten und x_n=b als größten Wert anzunehmen.

Da alle x_k größer als Null und mindestens den Abstand 1
haben, kann man die obige Identitàt zwei Mal ansetzen mit
m=a und m=b


Die Idee ist, dann zu vergleichen, daß der Wegfall von einzelnen
Termen auf der linken Seite weniger ausmacht als der Wegfall der
analogen Terme auf der rechten Seite.

Sei B_k die Summe der k'ten Potenzen von 1..b
A_k die Summe der k'ten Potenzen von 1..a, a < x_1 < b


Also gilt auch:
B_3 - A_3 = B_1^2 - A_1^2

Dann enthàlt B_3 - A_3 alle x_k^3 plus aufgefüllte Lücken, wo
der Abstand von aufeinanderfolgenden x, x_(k+1) - x_k > 1 ist.
Wenn es solche nicht gibt, haben wir trivialerweise Gleichheit,
was wir weiter nicht diskutieren müssen.


Da die obige Behauptung allgemein gehalten ist, muß die Ungleichheit
schon eintreten, wenn ich nur 1 Element z aus B_3 - A_3 entnehme
und die Folge a< x_k <= b also mindestens eine "Lücke" z enthàlt.
Dabei wird vorausgesetzt, daß a < x_1 < z < x_n = b ist, da sich sonst
lediglich die Schranken für a und b einfach verschieben würden
und wir wieder triviale Gleichheit hàtten.

Ich schreibe das obige der Übersichtlichkeit halber um:

-A_3 + B_3 = - A_1^2 + B_1^2 // wenn keine Lücken da sind

Wir haben dann die Anfangsbehauptung für eine einzelne Lücke z:

-A_3 + (B_3 - z^3) >= - A_1^2 + (B_1-z)^2 // wenn eine Lücke z vorhanden ist

Quadratterm ausmultiplizieren:

-A_3 + B_3 - z^3 >= - A_1^2 + B_1^2 - 2 z B_1 + z^2

Gleichheiten löschen;

- z^3 >= - 2 z B_1 + z^2
weiter:

- z^2 >= - 2 B_1 + z // z kürzen

B_1 >= z(z+1)/2 // umsortieren
// und faktorisieren

Nun haben wir links die Summe B_1 = b(b+1)/2 und die Ungleichung

b(b+1)/2 >= z(z+1)/2

die trivialerweise richtig ist für b>=z, und sogar eine
Ungleichung wird für die Annahme daß eine Lücke a < z < b
in a=x_1 < z < x_n=b existiert.


Merkwürdig? ;-) Na ja, es ist vorlesungsfreie Zeit halt...

Gottfried


Gottfried Helms, Kassel

Ähnliche fragen