Knobelproblem fuer Erstsemester

20/12/2010 - 18:56 von Steffen Schuler | Report spam
Hallo,

ich habe mir gestern folgendes Knobelproblem ueberlegt, von dem ich
glaube, dass es ein Mathematikstudent im ersten Semester leicht loesen
kann:

Seien r eine positive, von 1 verschiedene rationale Zahl und x eine
positive, relle Zahl. Ist x immer rational, wenn r^x rational ist?

Wenn du glaubst, dass es eine positive Antwort gibt, beweise deine
Vermutung, ansonsten gib ein Gegenbeispiel an.

Wenn jemand von euch Interesse hatte, poste ich auch gerne meine
Loesung.

Gruss,

Steffen
 

Lesen sie die antworten

#1 Steffen Schuler
21/12/2010 - 01:49 | Warnen spam
Eine Zusammenfassung der Artikel zum Knobelproblem
=
Problem:

1.) gegeben:

* r: eine positive, von 1 verschiedene rationale Zahl.
* x: eine positive reelle Zahl.

2.) Bedingung:

* r^x ist rational.

3.) Frage:

* Ist x immer rational?

Loesung:

* Es gibt mindestens ein Gegenbeispiel.

Gegenbeispiel: r = 2 und x = log_2 3.

Behauptung: x ist irrational.

Beweis. Es gilt r^x = 2^(log_2 3) = 3.
Angenommen x ist rational. Dann muss es
von 0 verschiedene natuerliche Zahlen
m und n geben mit x = m/n. Deshalb gilt
2^(m/n) = 3 und durch beidseitige
Bildung der n-ten Potenz erhalten wir

2^m = 3^n. (1)

Da m und n von 0 verschiedene
natuerliche Zahlen sind, ist die
linke Seite von (1) gerade und die
rechte Seite ungerade: ein
Widerspruch. Daher muss x irrational
sein.

Q.E.D.


Historie:

* Problem:Steffen Schuler.
* Gegenbeispiel (GB):.Marko Renner.
* Rechtfertigung (RF) des GB:.Steffen Schuler.
* Optimierung der RF:.Jutta Gut.

Gruss,

Steffen

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