Kolmogorov Smirnov Statistik

29/02/2008 - 09:41 von christian.palmes | Report spam
Hallo,

Den Kolmogorov Smirnov Test kann man bekanntlich benutzen, um zu
testen, ob eine bestimmte Verteilung vorliegt oder nicht:

http://www.statistik.tuwien.ac.at/p...ode73.html

Andererseits kann mit ihm auch innerhalb eines zweistichproben
Experimentes untersucht werden, welche Verteilung (welches Verfahren)
besser ist.

http://wwwmath.uni-muenster.de/stat...latt11.pdf
Aufgabe 26 a)

Beide Teststatistiken sind auf der Hypothese verteilungsfrei. In
Aufgabe 26 a) soll dies gerade gezeigt werden, was aber trivial ist.

Ich habe nun die Frage, ob es sich hierbei um dieselben Verteilungen
handelt.

In Formeln:

X_1 ,.., X_n , Y_1, .., Y_m seien stetig, identisch verteilt und
unabhàngig.

F_x(t) = 1/n sum_(i=1..n) [1_(-oo,t] (x_i)](Empirische
Verteilungsfkt.)

Sei K: |R^(n+m) -> [0,1]
K(x,y) = sup_a |F_x(a) - F_y(a)|


G: |R^n -> [0,1]
G(x) = sup_a|F_x(a) - F(a)|


Besitzt nun K(X,Y) dieselbe Verteilung wie G(X)?

Ich kann das zumindest nicht zeigen. Wahrscheinlich ist es recht
einfach und ich übersehe irgendetwas. Eine Idee?

Gruß Christian
 

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#1 earthnut
29/02/2008 - 17:07 | Warnen spam
wrote:

Ich habe nun die Frage, ob es sich hierbei um dieselben Verteilungen
handelt.

In Formeln:

X_1 ,.., X_n , Y_1, .., Y_m seien stetig, identisch verteilt und
unabhàngig.

F_x(t) = 1/n sum_(i=1..n) [1_(-oo,t] (x_i)](Empirische
Verteilungsfkt.)

Sei K: |R^(n+m) -> [0,1]
K(x,y) = sup_a |F_x(a) - F_y(a)|


G: |R^n -> [0,1]
G(x) = sup_a|F_x(a) - F(a)|


Besitzt nun K(X,Y) dieselbe Verteilung wie G(X)?

Ich kann das zumindest nicht zeigen. Wahrscheinlich ist es recht
einfach und ich übersehe irgendetwas. Eine Idee?



Gegenbeispiel: n = m = 1, F(x) = x für 0 <= x <= 1, 0 sonst.

K(x,y) = 1 für x =/= y und 0 für x = y.
G(x) = max {x, 1-x} >= 1/2 und < 1 für x nicht 0 oder 1.

Vielleicht lim m -> oo ?

Bastian

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