Kombinatorik: mit Zuruecklegen, ohne Reihenfolge

13/03/2012 - 21:35 von Dirk Schwidde | Report spam
Hi,

ich möchte folgende (eigentlich einfache) Aufgabe mit den Mitteln
der Kombinatorik lösen, scheitere aber daran.

Urnenmodell:
3x Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge
12 Kugeln, 7 rot, 3 blau, 2 weiß

W., dass mindestens 2 weiße gezogen werden?

Lösung mit Pfadregel:
(1/6)^2 + 5/6 * (1/6)^2 + 1/6 * 5/6 * 1/6 = 2/27

=
Lösung mit Hilfe der Kombinatorik-Formel
(n-1+k)
( k )

mögliche Ergebnisse: n, k = 3 also
(14) = 364
( 3)

günstige Ergebnisse:
a) 3 weiße: n = 2 k = 3
(4) = 4
(3)

b) 2 weiße, 1 rote: n = 2, k = 2 bzw. n = 7, k = 1
(3) (7) = 21
(2) (1)

c) 2 weiße, 1 blaue: n =2, k = 2 bzw. n = 3, k = 1
(3) (3) = 9
(2) (1)


zusammen also 34/364 = 17/182
und eben nicht 2/27

Wo sind die Denkfehler in der 2. Lösung?

Gruß
Dirk
 

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#1 Stephan Gerlach
14/03/2012 - 02:41 | Warnen spam
Dirk Schwidde schrieb:

ich möchte folgende (eigentlich einfache) Aufgabe mit den Mitteln
der Kombinatorik lösen, scheitere aber daran.

Urnenmodell:
3x Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge
12 Kugeln, 7 rot, 3 blau, 2 weiß



Die Kugeln sind:
r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, b1, b2, b3, w1, w2
D.h. möglich sind z.B.

r1 r2 r7
r5 b3 r5
r1 r1 w2?

*Un*unterscheidbar sind
r4 r5 w1
r4 w1 r5
w1 r4 r5?

W., dass mindestens 2 weiße gezogen werden?



Bemerkung:
Wenn es um diese Frage geht, ist es erstmal egal(!), ob man die Aufgabe
"ohne Reihenfolge" oder "mit Reihenfolge" betrachtet. Diese Formulierung
spielt erst dann eine Rolle, wenn man die Sache kombinatorisch angeht.

Lösung mit Pfadregel:
(1/6)^2 + 5/6 * (1/6)^2 + 1/6 * 5/6 * 1/6 = 2/27



w = weiß
nw = nicht weiß

Damit gilt (siehe auch Baumdiagramm):

{mindestens 2 weiße} = {(w,w,nw);(w,nw,w);(nw,w,w);(w,w,w)}

P(mindestens 2 weiße) = 3 * (1/6)^2 * 5/6 + (1/6)^3 = 2/27.

Das ist im Wesentlichen der gleiche Rechenweg wie bei dir, mit sogar
demselben Ergebnis. Das ganze ist im Prinzip ein Bernoulli-Versuch mit
n=3 Durchführungen, Erfolgswahrscheinlichkeit p=1/6 und mit
X = Anzahl der gezogenen weißen
ist gesucht
P(X>=2).


=>
Lösung mit Hilfe der Kombinatorik-Formel
(n-1+k)
( k )



So viele mögliche Ergebnisse gibt es, wenn man aus n Kugeln k Kugeln mit
Wiederholung zieht und dabe die Reihenfolge als unwichtig erachtet, also
wie oben erwàhnt z.B.

[r4 r5 w1]
= r4 w1 r5
= w1 r4 r5
= w1 r5 r4
= r5 r4 w1
= r5 w1 r4

oder auch

[b2 r1 r1]
= r1 b2 r1
= r1 r1 b2

als jeweils identisch betrachtet. Siehe auch unten dazu (#), spàter.

mögliche Ergebnisse: n, k = 3 also
(14) = 364
( 3)



Anwendung dieser Formel bedeutet, daß du aus deinen 12 Kugeln
r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, b1, b2, b3, w1, w2
3-mal mit Zurücklegen ziehst, wobei du die Reihenfolge als unwesentlich
erachtest. 2 dieser 364 möglichen Ergebnisse sind wenige Zeilen weiter
oben bei (#) aufgelistet; es sind
[r4 r5 w1]
und
[b2 r1 r1].

günstige Ergebnisse:
a) 3 weiße: n = 2 k = 3
(4) = 4
(3)



Da es nur 4 Stück sind, schreibe ich die mal auf:

[w1 w1 w1]
[w1 w2 w2]
[w1 w1 w2]
[w2 w2 w2].

Nur um sicher zu gehen:
Gehe ich recht in der Annahme, daß du dies meintest?

b) 2 weiße, 1 rote: n = 2, k = 2 bzw. n = 7, k = 1
(3) (7) = 21
(2) (1)

c) 2 weiße, 1 blaue: n =2, k = 2 bzw. n = 3, k = 1
(3) (3) = 9
(2) (1)



Also 34 Möglichkeiten, mindestens 2 weiße zu ziehen.

zusammen also 34/364 = 17/182
und eben nicht 2/27

> Wo sind die Denkfehler in der 2. Lösung?



In der Schlußfolgerung, die 34 und 364 zu 34/364 "zusammenzubauen".
Du hast offensichtlich die für ein bestimmtes Ereignis A bekannte Formel

P(A) = (Anzahl für A günstiger Fàlle)/(Anzahl möglicher Ergebnissse)

angewendet. Jetzt kommt's: Diese Formel gilt nur dann, wenn die
einzelnen Elementarereignisse - bei dem von dir gewàhlten
Wahrscheinlichkeitsraum wàren das 364 Stück - *gleich*wahrscheinlich
sind! Die oben genannte P(A)-Formel ist die sogenannte
Laplace-Wahrscheinlichkeit. Die Formel ist bei dir nicht anwendbar, weil
*nicht* alle deiner 364 möglichen Elementarereignisse
gleichwahrscheinlich sind. Z.B. hat [r4 r5 r1] eine höhere
Wahrscheinlichkeit als [b2 r1 r1], und dies wiederum als [r1 r1 r1].
Ursache ist, daß viele dieser Elementarereignisse 'eigentlich' aus
mehreren 'Ereignissen bestehen', s.o. (#).
Wenn du die Laplace-Wahrscheinlichkeit anwenden willst, mußt du also
einen Wahrscheinlichkeitsraum so wàhlen, daß dessen Elementarereignisse
*gleich*wahrscheinlich sind. Das geht aber nur dann, wenn du die
Reihenfolge *doch* beachtest.

Das bedeutet, du hast dann also nicht (n+k-1 über k) mögliche
Elementarereignisse, sondern
n^k = 12^3 = 1728.
Günstig für "mindestens 2 weiße" sind natürlich auch ein paar mehr.
Deine Fallunterscheidungen a), b), c) modifizieren sich zu:
a) 3 weiße:
2^3 = 8

b) 2 weiße, 1 rote:
(2^2*7)*3 = 28*3 = 84

c) 2 weiße, 1 blaue:
(2^2*3)*3 = 12*3 = 36

Gesamt: 8+84+36 = 128

P(A) = 128/1728 = 2/27.

Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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