Kombinatorik Verständnisfrage

26/04/2010 - 10:46 von Ralf Heimrich | Report spam
Hallo zusammen,

ich habe ein Aufgabe aus dem beliebten Fachgebiet der Kombinatorik,
bei der mir die (gegebene Lösung)
nicht ganz einleuchtet:

Man habe 3 Boxen und 12 Kugels, die zufàllig und unabhàngig
voneinander auf die Boxen aufgeteilt werden.
Wie groß ist die W'keit, dass genau fünf Kugeln in die erste Box
kommen?

Die angegebene Lösung ist nun P(A) = (12 über 5) * 2^7 / 3 ^12.

Ich verstehe, dass es grundsàtzlich schon 3^12 Möglichkeiten gibt, die
Kugeln auf die Boxen zu verteilen.
Allerdings wird dabei ja die Reihenfolge beachtet. Wenn ich jetzt aber
im Zàhler (12 über 5) nehme, um
5 aus den 12 Kugeln auszuwàhlen, dann beachte ich dabei ja nicht mehr
die Reihenfolge. Ist das nicht
inkonsistent?

Vielen Dank und viele Grüße
 

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#1 Bastian Erdnüß
26/04/2010 - 12:27 | Warnen spam
Ralf Heimrich wrote:

Hallo zusammen,

ich habe ein Aufgabe aus dem beliebten Fachgebiet der Kombinatorik,
bei der mir die (gegebene Lösung)
nicht ganz einleuchtet:

Man habe 3 Boxen und 12 Kugels, die zufàllig und unabhàngig
voneinander auf die Boxen aufgeteilt werden.
Wie groß ist die W'keit, dass genau fünf Kugeln in die erste Box
kommen?

Die angegebene Lösung ist nun P(A) = (12 über 5) * 2^7 / 3 ^12.



Die Lösung stimmt, wenn die Kugeln unterscheidbar sind.

Ich verstehe, dass es grundsàtzlich schon 3^12 Möglichkeiten gibt, die
Kugeln auf die Boxen zu verteilen.
Allerdings wird dabei ja die Reihenfolge beachtet.



Die Reihenfolge wird nicht beachtet. Aber die Kugeln werden als
unterscheidbar angenommen (also z. B. als verschiedenfarbig).

D. h. es spielt keine Rolle, ob du zuerst die eine und dann die andere
Kugel in die erste Box legst, aber es spielt eine Rolle, welche Kugel du
überhaupt in die Box legst.

Beispiel: Du hast drei Kugeln (rot, blau, grün) und teilst diese auf
zwei Boxen auf. Jede Kugel kann unabhàngig in eine der zwei Boxen
gelegt werden, also gibt es 2^3 = 8 verschiedene Aufteilungen:

1) Box 1: R, G, B. Box 2: leer.
2) Box 1: R, G. Box 2: B.
3) Box 1: R, B. Box 2: G.
4) Box 1: R. Box 2: G, B.
5) Box 1: G, B. Box 2: R.
6) Box 1: G. Box 2: R, B.
7) Box 1: B. Box 2: R, G.
8) Box 1: leer. Box 2: R, G, B.

Beachte, dass Möglichkeit Nr. 1 und Möglichkeit Nr. 8 verschieden sind,
da die beiden Boxen verschieden sind (nicht vertauschbar). Weiter sind
Möglichkeit 2 und 3 verschieden, da die Kugeln (G und B) unterscheidbar
sind. Weiter ist es aber z. B. in Möglichkeit Nr. 1 egal, ob ich zuerst
R, dann G und zuletzt B, oder zuerst B, dann G und zuletzt R hinein
lege, da es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

Wenn ich jetzt aber
im Zàhler (12 über 5) nehme, um
5 aus den 12 Kugeln auszuwàhlen, dann beachte ich dabei ja nicht mehr
die Reihenfolge. Ist das nicht
inkonsistent?

Vielen Dank und viele Grüße



Gruß,
Bastian

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