Kombintorisches Urnenproblem speziell und allgemein

07/10/2010 - 19:13 von Wolfgang Siebert | Report spam
Hallo,

ich habe folgendes Urenproblem:

Eine Urne enthàlt 1 blaue, 8 rote und 7 schwarze Kugeln.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln (ohne Zurücklegen) zu ziehen,
und zwar
1. wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und
2. wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt?
Die Kugeln sind natürlich innerhalb der Farben nicht unterscheidbar.

Wie kann man das kombinatorisch lösen in diesem speziellen Fall und
allgemein?

Viele Grüße

Wofgang
 

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#1 Bastian Erdnuess
09/10/2010 - 19:13 | Warnen spam
Wolfgang Siebert wrote:

Hallo,

ich habe folgendes Urenproblem:

Eine Urne enthàlt 1 blaue, 8 rote und 7 schwarze Kugeln.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln (ohne Zurücklegen) zu ziehen,



Warum 8 rote und 7 schwarze? Ob es 3 rote oder mehr gibt àndert doch
nichts mehr, ebenso bei den schwarze Kugeln. Oder missverstehe ich dich
da?

und zwar
1. wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und



Sehe ich das falsch, oder gibt es nur die 7 Möglichkeiten

brr, brs, bss, rrr, rrs, rss, sss ?


2. wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt?



Das erste Wort oben kann man auf 3 Arten anordnen, das zweite auf 6, das
dritte wieder auf 3, das 4. und das letzte jeweils auf nur eine und die
anderen beiden ebenfalls auf 3 Arten. Macht zusammen 6 + 4*3 + 2 = 20
Möglichkeiten.

Die Kugeln sind natürlich innerhalb der Farben nicht unterscheidbar.



Nur um das klarzustellen, aber das bedeutet für die erste Aufgabe oben,
dass es tatsàchlich nur eine Art gibt 1 blaue, 1 rote und 1 schwarze zu
ziehen, und nicht etwa 56, weil man die rote auf 8 und die schwarze auf
7 verschiedene Weisen ziehen kann.

Wie kann man das kombinatorisch lösen in diesem speziellen Fall und
allgemein?



In diesem speziellen Fall ist von Hand abzàhlen wohl am einfachsten. Im
allgemeinen Fall, geht man am besten über Generierendenfunktionen. Der
zweite Fall ist da etwas einfacher.

Betrachte dazu mal das Polynom (b+r+s)^3, mutlipliziere es aus, setze
für r und s = 1 ein, und sortiere es nach den Potenzen von b. Das ist
dann (2+b)^3 = 8 + 12b + 6b^2 + b^3. Das sagt dir, dass es 8
Möglichkeiten gibt, ohne b und 12 mit genau einem b. Das sind zusammen
genau die 20 Möglichkeiten mit höchstens einem b.

Der erste Fall ist etwas komplizierter. Betrachte dazu am besten Mal
1/(1-b) * 1/(1-r) * 1/(1-s), entwickle es bis zu den 3. Potenzen von r
und s und zur ersten Potenz von b: (1 + b) * (1 + r + r^2 + r^3) * (1 +
s + s^2 * s^3). Dann multipliziere das aus und fisch die Monome raus,
bei denen die Summe der Exponenten gleich 3 ist: r^3 + s^3 + r^2 * (b +
s) + s^2 * (b + r) + b * r * s. Nun setze für b, r und s jeweils = 1
ein. Es ergibt sich 7.

Gruß,
Bastian

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