Kommutative Algebra

29/11/2007 - 03:39 von killuminati | Report spam
Hey, stecke gerade bei einer scheinbar einfachen Übungen fest.
Und zwar soll ich folgendes beweisen:
Sei R ein lokaler Ring und f in R[X_1,X_2,...,X_n] ein Polynom in n
Variablen über R.
Die Aussage ist nun: Hat f einen invertierbaren Koeffizienten, so ist
f kein Nullteiler.


Vielen Dank für jede Hilfe
 

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#1 Detlef Müller
29/11/2007 - 13:07 | Warnen spam
wrote:
Hey, stecke gerade bei einer scheinbar einfachen Übungen fest.
Und zwar soll ich folgendes beweisen:
Sei R ein lokaler Ring und f in R[X_1,X_2,...,X_n] ein Polynom in n
Variablen über R.
Die Aussage ist nun: Hat f einen invertierbaren Koeffizienten, so ist
f kein Nullteiler.


Vielen Dank für jede Hilfe


Ist R noethersch, geht es (in einer Variable) wohl so:

Im lokalen Ring bilden die Nichteinheiten ein Ideal M ...

In einer Variable:
Angenommen f aus R[X], g aus R[X],
f,g != 0 mit fg = 0.

f=sum(f_i X^i, i=1..n), g=sum(g_j, j=1..m)
f*g = sum( sum(f_i*g_j, i+j=k)x^k; k=0..n+m)
Haben sowohl f als auch g invertierbare Koeffizienten, etwa f_r, g_s mit
r>=s (OE, sonst tausche f,g) minimal, so ist der Koeffizient von X^s in
f*g gerade:
f_(r) g_0 + f_(r-1)g_1+...+f_r g_s+ f_(r-1)g_(s+1) + ... f_0g_(r+s),
hier sind alle Summanden bis auf f_r g_s im Maximalen Ideal.
Damit kann der Koeffizient nicht in M liegen, also nicht Null sein
(Widerspruch).
Somit hat ein Polynom, etwa g nur Koeffizienten aus M.

Sei r der Kleinste Index für den f_r invertierbar ist.

Dann ist der Koeffizient von X^r in f*g gerade (g_i:=0 für i>m):
sum(f_k*g_(r-k), k=0,r)x^r =f_k g_0 + (f_(k-1)g_1+...+f_0g_k)
aus M^2 < ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

g_0 liegt also in M^2 (M war das max. Ideal).

Der Koeffizient von X^(r+1) ist dann
f_(k+1)g_0 + f_k g_1 + ... +f_0g_(k+1).
Damit liegt auch g_1 in M^2
u.s.w: Die Koeffizienten aus g liegen also alle nicht nur in M, sondern
in in M^2.
Die selbe Überlegung führt schließlich induktiv dazu, dass die
Koeffizienten aus g für jedes t in M^t liegen - in noetherschen Ringen
geht das nur für 0.

Tcha - wàre R Noethersch, hàtten wir jetzt g=0 und einen Widerspruch.

Gruß,
Detlef

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