Kommutatorrelation

11/09/2008 - 16:37 von Alexander Streltsov | Report spam
Ich will folgende Kommutatorrelation aus einem Quantenmechanikskript
beweisen:

[A,B^k] = sum{s=0..k-1, B^s [A,B] B^(k-s-1)}.

Es bietet sich vollstàndige Induktion an (Überprüfung für k=1 trivial).

[A, B^(k+1)] = B[A,B^k] + [A,B^k]B = sum{s=0..k-1, B^(s+1) [A,B]
B^(k-s-1)} + sum{s=0..k-1, B^s [A,B] B^(k-s)},

wobei im letzen Schritt Induktionsannahme benutzt wurde.

Ich kann die erste Summe durch Indexverschiebung wie folgt umformen:
sum{s=0..k-1, B^(s+1) [A,B] B^(k-s-1)} = sum{s=1..k, B^(s) [A,B]
B^(k-s)}, womit ich den ganzen Ausdruck umschreiben kann:

[A, B^(k+1)] = sum{s=1..k, B^(s) [A,B] B^(k-s)} + sum{s=0..k-1, B^s
[A,B] B^(k-s)} = sum{s=0..k, B^s [A,B] B^(k-s)} + sum{s=1..k-1, B^(s)
[A,B] B^(k-s)},

dabei habe ich im letzten Schritt von der zweiten Summe den Term mit s =
0 abgespaltet und zur ersten Summe hinzugefügt.

Am Ende muss rauskommen: [A, B^(k+1)] = sum{s=0..k, B^s [A,B] B^(k-s)},
somit muss nach meiner Rechnung die zweite Summe verschwinden:
sum{s=1..k-1, B^(s) [A,B] B^(k-s)} = 0, was aber nicht sein kann.

Sieht jemand den Fehler, bzw. ist die angegebene Relation falsch?

mfg
Alex
 

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#1 Alexander Streltsov
11/09/2008 - 16:53 | Warnen spam
Alexander Streltsov schrieb:
Ich will folgende Kommutatorrelation aus einem Quantenmechanikskript
beweisen:

[A,B^k] = sum{s=0..k-1, B^s [A,B] B^(k-s-1)}.




Die Relation ist offensichtlich falsch, was man bereits für k=3 sieht,
es gilt nàmlich:

[A,B^3] = B[A,B^2] + [A,B^2]B = B^2[A,B] + 2B[A,B]B + [A,B]B^2.

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