Kompakte Untergruppen der GL(n,R)

09/11/2014 - 10:30 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
sind alle kompakten Untergruppen der GL(n,R) konjugiert zu einer
Untergruppe der O(n)?

Viele Grüße Jan
 

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#1 Norbert Dragon
14/11/2014 - 17:51 | Warnen spam
* Jan Fricke schreibt:

sind alle kompakten Untergruppen K der GL(n,R) konjugiert zu einer
Untergruppe der O(n)?



Um kompakt zu sein, darf K nur endlich viele
Zusammenhangskomponenten haben (sonst gàbe es Folgen ohne einen
Hàufungspunkt). Die Zusammenhangskomponente der Eins ist eine
Liegruppe H. Auf ihre Lie-Algebra wirkt die adjungierte Darstellung
vollstàndig reduzibel (weil die Gruppe kompakt ist). Sie ist also eine
direkte Summe von abelschen und einfachen Liealgebren. Zu den abelschen
Teilen der Liealgebra gehören Gruppen S^1, die in O(n) enthalten sind,
und zu den einfachen Lie-Algebren gehören kompakte Untergruppen
von SO(n), weil ihre Killing-Metrik negativ definit ist. Also ist H
konjugiert zu einer Untergruppe von SO(n).

Jede andere Zusammenhangskomponente von K ist von der Form h_i = g_i H.
Sie bilden eine endliche Gruppe h_i h_j = h_(i,j) . Jede ihrer
Darstellungen ist konjugiert zu einer orthogonalen Darstellung. Was ich
nicht sofort sehe, ist, ob daraus folgt, daß man die g_i so wàhlen
kann, daß sie ein endliche Gruppe bilden.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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