komplizierte Abschätzung

21/02/2008 - 14:31 von Jens Schniedmann | Report spam
Hallo,

ich habe hier eine Abschàtzung, die intuitiv richtig ist, kann sie aber
nicht formal beweisen. Für große n soll gelten

\prod_{j=1}^{m-1} \frac{ gauß(na_j) } { gauß(na_j) - gauß(nb)} \ge 0.5 *
\prod_{j=1}^{m-1} \frac{a_j}{a_j -b}

Dabei ist mit gauß(a) die untere Gausklammer gemeint, d.h. gauß(3.5)=3.

Anschaulich ist es ja so, dass für große n na_j bzw. nb ganze Zahlen werden
und so das Produkt auf beiden Seiten gleich ist. Das 1/2 sichert kleinere
Abweichungen ab. Aber wie zeigt man das formal!?

Falls jemand eine Idee hat, würde ich mich sehr freuen!

Vielen Dank,

Jens
 

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#1 Philipp Zumstein
21/02/2008 - 17:04 | Warnen spam
Jens Schniedmann schrieb:
ich habe hier eine Abschàtzung, die intuitiv richtig ist, kann sie aber
nicht formal beweisen. Für große n soll gelten

\prod_{j=1}^{m-1} \frac{ gauß(na_j) } { gauß(na_j) - gauß(nb)} \ge 0.5 *
\prod_{j=1}^{m-1} \frac{a_j}{a_j -b}

Dabei ist mit gauß(a) die untere Gausklammer gemeint, d.h. gauß(3.5)=3.

Anschaulich ist es ja so, dass für große n na_j bzw. nb ganze Zahlen werden
und so das Produkt auf beiden Seiten gleich ist. Das 1/2 sichert kleinere
Abweichungen ab. Aber wie zeigt man das formal!?

Falls jemand eine Idee hat, würde ich mich sehr freuen!



Mit folgender Behauptung bekommt man deine Aussage von oben als
Folgerung heraus.

BEHAUPTUNG:
Für jede reelle Zahl x und jedes e > 0 gibt es eine natürlich Zahl n,
s.d. (1-e)nx <= [nx] (1+e)nx.

Dabei steht die Klammer [.] für die Gaussklammer. Die Behauptung sollte
auch formal einfach sein zu beweisen, da ja nx und [nx] sich höchstens
um einen additiven term <1 unterscheiden. Also genügt es zu schauen,
dass enx >= 1 wird, d.h. n >= 1/(ex) wàhlen.

Wenn du das e (sprich "epsilon" :) genügend klein wàhlst, dann erhàlst
du deine gewünschte Abschàtzung.

Grüsse,
Philipp

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