Kondensator, Ladeenergie, ...

28/04/2009 - 23:04 von Roland Damm | Report spam
Moin,

zunàchst mal vorweg:

Wenn man einen Kondensator an einer Konstantspannungsquelle über
einen Widerstand làdt, dann steckt das Netzteil bis zum komplett
geladenen Zustand eine Energie von U^2*C in die Schaltung.
Im Kondensator ist am Ende des Ladevorgangs eine Energie von
1/2*U^2*C gespeicher, folglich muss genau so viel Energie im
Widerstand verheizt worden sein.

Ich ziehe daraus den vagemutigen Schluss, dass der Wert des
Widerstands dabei keine Rolle spielt. Auch im folgenden:

Folgende Konstellation:

+-U0
|
C1
+-+
| R
C2 |
| S
| |

Also oben erst mal ein Kondensator C1. Dann ein C2 und parallel
dazu ein Widerstand und ein Schalter (S). Das Netzteil habe
einen vernachlàssigbaren Innenwiderstand, ich hoffe diese
Bedingung erzeugt keine Rechenfehler.

Zunàchst ist der Schalter offen. Und die Spannung U0 wird
eingeschaltet. Am Schalter liegt am Ende des Ladevorgangs eine
Spannung von Us=U0*C1/(C1+C2) an.

Jetzt bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet und es wird der
Schalter geschlossen.

Frage: Wie viel Energie wird bis zum stationàren Endzustand am
Widerstand verheizt?

Mein Ansatz:

Gesamtkapazitàt der Schaltung bei geschlossenem Schalter:
Cg,g = C1 - weil C2 keine Rolle spielt dank dem Kurzschluss

d.t.o. mit offenem Schalter: C-Reihenschlatung:
Cg,o = C1*C2/(C1+C2)

Im Endzustand bei geschlossenem Schalter ist in den (dem)
Kondensator(en) die Energie:
Eg = 1/2*U^2*Cg,g

Mit offenem Schalter:
Eo = 1/2*U^2*Cg,o

Nun die Überlegung: Ich bilde einfach die Differenz zwischen
diesen beiden Energien und behaupte wie in der Einleitung: Die
Energie die im Widerstand verheizt wird ist gleich der Änderung
der Energie im Kondensator, ergo sollte - nach Schließen des
Schalters - am Widerstand eine Energie von
DE=Eg-Eo
verheizt worden sein.

Ist das zutreffend?

Oder muss ich das doch noch mal einzeln nachrechnen,
hochintegrieren,?

Ach ja, dieses DE ausgerechnet liefert IMO... ich habe bei der
Gelegenheit die Gesamtspannung in der Spannung Us, also der
Spannung am offenen Schalter, ausgedrückt:
DE=1/2*Us^2*(C1+C2)

sieht schön einfach aus. Für das Umladen infolge des Schließens
des Schalters ist es also in etwa so, wie wenn die beiden
Kondensatoren parallel liegen würden und dann geladen werden.

Kann schon sein...

Ach ja, der Hintergrund: Es geht um ein einfachstes Ersatzmodell
bezüglich was passiert, wenn der Schalter und der Widerstand
nicht wie hier vereinfacht Bauteile sind, sondern eine
Funkenstrecke. Deswegen die Aufdroselung nach Us, weil ich
vereinfacht mal annehmen will, dass ab einer gewissen Spannung
Us ein Lichtbogen überspringt und der dann so lange bestehen
bleibt, bis kein Strom im Lichtbogen mehr fließt. Die Frage ist,
wie viel Energie in dem Lichtbogen umgesetzt wird.

CU Rollo
 

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#1 Ralf . K u s m i e r z
29/04/2009 - 01:58 | Warnen spam
X-No-Archive: Yes

begin quoting, Roland Damm schrieb:

Wenn man einen Kondensator an einer Konstantspannungsquelle über
einen Widerstand làdt, dann steckt das Netzteil bis zum komplett
geladenen Zustand eine Energie von U^2*C in die Schaltung.
Im Kondensator ist am Ende des Ladevorgangs eine Energie von
1/2*U^2*C gespeicher, folglich muss genau so viel Energie im
Widerstand verheizt worden sein.

Ich ziehe daraus den vagemutigen Schluss, dass der Wert des
Widerstands dabei keine Rolle spielt.



Korrekt, solange man die Induktivitàten vernachlàssigen kann.

Auch im folgenden:

Folgende Konstellation:

+-U0
|
C1
+-+ U12
| R
C2 |
| S
| |

Gesamtkapazitàt der Schaltung

d.t.o. mit offenem Schalter: C-Reihenschlatung:
Cg,o = C1*C2/(C1+C2)
Im Endzustand bei geschlossenem Schalter ist in den (dem)
Kondensator(en) die Energie:
Eg = 1/2*U^2*Cg,g
Mit offenem Schalter:
Eo = 1/2*U^2*Cg,o



ACK

Ach ja, der Hintergrund: Es geht um ein einfachstes Ersatzmodell
bezüglich was passiert, wenn der Schalter und der Widerstand
nicht wie hier vereinfacht Bauteile sind, sondern eine
Funkenstrecke. Deswegen die Aufdroselung nach Us, weil ich
vereinfacht mal annehmen will, dass ab einer gewissen Spannung
Us ein Lichtbogen überspringt und der dann so lange bestehen
bleibt, bis kein Strom im Lichtbogen mehr fließt. Die Frage ist,
wie viel Energie in dem Lichtbogen umgesetzt wird.



Einfach mal zu Fuß integrieren:

Schalter offen, aufgeladen: U12 = U0 / (1 + C2/C1)

Schalter schließen, drei Ströme:

|
|
\|/ i1
|
|
*--
| |
| |
\|/ i2 \|/ i3
| |
| |

u12(t) = U0 / (1 + C2/C1) - INT(i1 dt)/C1
= U0 / (1 + C2/C1) + INT(i2 dt)/C2

i3 = i1 - i2 = u12(t)/R

Ansatz:

u12(t) = U0 * exp(-a*t) / (1 + C2/C1)

=> i1(t)/C1 = -i2(t)/C2 ,
i3(t) = u12(t)/R = U0/R * exp(-a*t) / (1 + C2/C1)
= i1(t) - i2(t)

i1(t) = -i2(t) * C1/C2
i3(t) = i1(t) - i2(t) = -i2(t) * (1 + C1/C2)
= U0/R * exp(-a*t) / (1 + C2/C1)
=> i2(t) = -U0/R * exp(-a*t) / (2 + C1/C2 + C2/C1)

Q2 = -INT(i2 dt, 0->oo)
= U0/R / (2 + C1/C2 + C2/C1) * INT(exp(-a*t) dt, 0->oo)
= U0/R / [a*(2 + C1/C2 + C2/C1)] = U0 * C2 / (1 + C2/C1)
=> a = 1/ [R * (C1 + C2)] = 1/tau

i3(t) = u12(t)/R = U0/R * exp(-a*t) / (1 + C2/C1)
P(t) = u12(t) * i3(t) = [U0/(1 + C2/C1)]^2/R * exp(-2*a*t)
W = INT(P(t) dt, 0->oo) = [U0/(1 + C2/C1)]^2 / (2*a*R)
= [U0/(1 + C2/C1)]^2 * (C1 + C2) / 2
= (U0*C1)^2 / [2 * (C1 + C2)]

Klar, die beim Schalten umgesetzte Energie hàngt nicht von R ab.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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