Konforme Abbildung von oberer Halbebene auf Rechteck, Vorzeichenfehler?

13/01/2012 - 12:24 von Stephan Gerlach | Report spam
Neulich fiel mir wieder mal die weithin bekannte Abhandlung über
diejenige Funktion in die Hànde, die die obere komplexe Halbebene auf
ein Rechteck abbildet.

Abkürzungen:
C komplexe Zahlen
i imaginàre Einheit
Re(z) Realteil der komplexen Zahl z
Im(z) Imaginàrteil der komplexen Zahl z
H {alle z in C mit Im(z) >= 0}, das ist obere Halbebene

Sei k aus dem offenen Intervall (0,1).
Es wird auf H die Funktion f definiert

f(z) := Integral{t=0 bis z} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))

In der mir vorliegenden Quelle wird dann behauptet, es gelte
f(-1) = -f(1),
was einigermaßen klar ist. Weiterhin heißt es, daß das Intervall [-1,1]
durch f auf ein reelles Intervall [-A,A] abgebildet wird. Das ist
ebenfalls noch klar. Das Intervall [-A,A] wird dann eine Seite des
Rechtecks sein und -A und A Ecken des Rechtecks.
Daß es überhaupt ein Rechteck ist, d.h. die Winkel in -A und A jeweils
PI/2 sind, müßte aus der Schwarz-Christoffel'schen Abbildungsformel folgen.

Anschließend wird untersucht, was f mit den Intervallen [1,1/k] und
[-1/k,-1] macht; konkret wird auf f(1/k) und f(-1/k) eingegangen. Zu
f(1/k) heißt es in der Quelle nur

f(1/k) = A + i*Integral{1 bis 1/k} dt/sqrt((t²-1)(1-k²t²))
= A + i*B,

wenn man das Integral von 1 bis 1/k mit B abkürzt. B ist offensichtlich
positiv.
Und bereits *hier* komme ich nicht so ganz drauf. Meiner Ansicht nach
müßte es A - i*B heißen?!
Denn man kann ja schreiben

f(1/k) = Integral{t=0 bis 1/k} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))
= Integral{t=0 bis 1} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))
+ Integral{t=1 bis 1/k} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))
= f(1) + Integral{t=1 bis 1/k} dt/sqrt(-1*(t²-1)(1-k²t²))
= A + Integral{t=1 bis 1/k} dt/(i*sqrt((t²-1)(1-k²t²)))
= A - i*Integral{t=1 bis 1/k} dt/sqrt((t²-1)(1-k²t²))
= A - i*B

Ich habe das Integral erst zerlegt, dann in der Wurzel -1 ausgeklammert,
erhalte im Nenner einen Faktor i, und 1/i ist aber -i. Der Integrand
wird durch diese Maßnahme positiv reell und damit auch das ganze Integral.
Das würde dann aber bedeuten, daß die Rechtechseite f([1,1/k]) "nach
unten" zeigt (von der reellen Achse aus gesehen), und nicht nach oben.
Durch eine àhnliche Rechnung für f(-1/k) komme ich auf

f(-1/k) = Integral{t=0 bis -1/k} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))
= Integral{t=0 bis -1} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))
+ Integral{t=-1 bis -1/k} dt/sqrt((1-t²)(1-k²t²))
= f(-1) + Integral{s=1 bis 1/k} -ds/sqrt(-1*(s²-1)(1-k²s²))
= -A + Integral{s=1 bis 1/k} -ds/(i*sqrt((s²-1)(1-k²s²)))
= -A + i*Integral{s=1 bis 1/k} ds/sqrt((s²-1)(1-k²s²))
= -A + i*B

Hier habe ich noch eine Substitution t = -s durchgeführt, um das zweite
Integral auf das Integral B zurückzuführen.

Das ergàbe aber nun IMHO vollends gar keinen Sinn mehr:
Es wàre
f(1) = A
f(-1) = -A
f(1/k) = A - i*B
f(-1/k) = -A + i*B
mit positiv reellen A und B. Das wàre aber gar kein Rechteck mehr?!

In der mir vorliegenden graphischen Illustration sieht man, daß ein
Rechteck *oberhalb* der reellen Achse rauskommen soll.

Ich vermute daher, daß ich in meiner Überlegung, insbesondere f(1/k) und
f(-1/k) betreffend, einen relativ einfachen Vorzeichenfehler (oder auch
Denkfehler) drin habe, den ich aber einfach nicht finde.

PS: Noch was zur Wurzel im Nenner des Integranden: Es ist, wie ich
zumindest vermute, der Hauptzweig der Wurzel gemeint, d.h. insbesondere
ist für x>0 sqrt(-x) = i*x (und nicht -i*x). Möglicherweise steckt aber
auch da mein Denkfehler drin.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

Lesen sie die antworten

#1 Jan Fricke
13/01/2012 - 12:43 | Warnen spam
Hallo Stephan,
schau mal in den Ahlfors: "Complex Analysis", Kapitel 6. Im Abschnitt
2.2 wird dort die Integral-Formel (Schwarz-Christoffel-Formel) bewiesen,
2.3 beschàftigt sich dann mit Rechtecken.


Viele Grüße Jan

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