Konstruktion einer Injektion von R nach N

21/01/2010 - 14:07 von Albrecht | Report spam
Auf den ersten Blick scheint es ja so zu sein, wie wenn man nicht
eineindeutig jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl zuordnen könnte
da reelle Zahlen in g-adischer Darstellung aus unendlich vielen
Ziffern aufgebaut sind, wàhrend eine natürliche Zahl nur endlich viele
Ziffern enthàlt. Scheinbar hat die Darstellbarkeit einer reelen Zahl
mehr "Freiheitsgrade" wie die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl.
Nun kann man aber unter Ausnutzung der Tatsache, dass sich je zwei
reelle Zahlen an mindestens einer Stelle mit endlichem Stellenindex
unterscheiden müssen, Konstruktionen angeben, die jeder reellen Zahl
einer Menge eine "persönliche" natürliche Zahl zuordnet. Da solche
Konstruktionen evtl. nicht gewàhrleisten, dass jede natürliche Zahl
verbraucht wird, handelt es sich im Falle, dass die Menge aller
reellen Zahlen auf N abgebildet wird um eine Injektion von R auf N.

Hier die Vorschrift einer solchen Konstruktion:

Gegeben ist eine Menge reeller Zahlen in g-adischer Darstellung, die
Definitionsmenge. O. b. d. A. kann die Definitionsmenge auf das
Intervall [0, 1[ eingeschrànkt werden.

Die Elemente der Definitionsmenge werden nacheinander behandelt, so
dass jeder reellen Zahl r_n eine individuelle natürliche Zahl z_n
zugeordnet wird indem ein hinreichend langer Anfangsstring der
Zifferndarstellung der reellen Zahl als Zifferndarstellung einer
natürlichen Zahl angesehen wird. Um Problemen mit führenden Nullen aus
dem Weg zu gehen, wird diesem String noch eine 1 vorangestellt.

Anschaulich wird der reellen Zahl 0.1234 z.B. die natürliche Zahl 1123
oder z.B. 11234000 zugeordnet. Somit ist noch eine Vorschrift
erforderlich, mit der die Anzahl der Stellen der natürlichen Zahl
festgelegt wird.
Hier gelte folgende Regel:
1) Die zugeordnete natürliche Zahl wird aus der ersten Stelle nach dem
Komma der reellen Zahl gebildet
2) Wàre die nach Regel 1) gebildete natürliche Zahl schon einer
anderen reellen Zahl zugeordnet, werden soviele Stellen hinzugenommen
bis die Zahl in der Bildmenge einzigartig ist.

Nach dieser Vorschrift erhàlt jede reelle Zahl einer beliebigen
geordneten Menge reeller Zahlen, abhàngig von der angewandten Ordnung,
eineindeutig eine natürliche Zahl zugeordnet. Jede Menge, deren
Elemente eines nach dem anderen abgearbeitet werden kann, kann
ausgeschöpft werden. Ob die Menge der reellen Zahlen gleichmàchtig zu
der Menge der natürlichen Zahlen ist, hàngt also nur von deren
Anordenbarkeit ab.
Entscheidend für oben gegebene Konstruktionsvorschrift ist nur, dass
man der Definitionsmenge die Elemente geordnet entnehmen kann, und
dass zu jedem Zeitpunkt geprüft werden kann, ob eine gegebene
natürliche Zahl in der Bildmenge enthalten ist, oder nicht. Beides
scheint mir doch für die Menge der reellen Zahlen und obige
Konstruktion gewàhrleistet zu sein.

Wenn man aber jedem Element einer beliebigen Menge von reellen Zahlen
eine eigene natürliche Zahl zuordnen kann, wie soll dann R
überabzàhlbar sein?

Gruß
Albrecht
 

Lesen sie die antworten

#1 Thomas Plehn
21/01/2010 - 14:33 | Warnen spam
"Albrecht" schrieb im Newsbeitrag
news:

Entscheidend für oben gegebene Konstruktionsvorschrift ist nur, dass
man der Definitionsmenge die Elemente geordnet entnehmen kann, und
dass zu jedem Zeitpunkt geprüft werden kann, ob eine gegebene
natürliche Zahl in der Bildmenge enthalten ist, oder nicht. Beides
scheint mir doch für die Menge der reellen Zahlen und obige
Konstruktion gewàhrleistet zu sein.



Wenn man alle Elemnte aus R irgendwie geordnet entnehmen könnte, dann wàre R
doch abzàhlbar. Du verwendest also dein intendiertes Ergebnis schon in
deiner Argumentation, damit wird sie leider zum Zirkelschluss.

Ähnliche fragen