Konstruktionsvorschlag eines Kreises

11/04/2008 - 19:53 von Robert Hartmann | Report spam
Hallo zusammen,

Ich suche eine Idee oder eine
Korrektur meiner Idee, wie man bei
gegebenen Fakten einen passenden
Kreis (evtl mit Radius unendlich)
formal eindeutig beschreiben kann.


Gegeben ist der Einheitskreis K1
* Mittelpunkt M1=(m11,m12)=(0,0)
* Radius r1 = 1

Zwei von einander verschiedene Punkte
innerhalb des Einheitskreises
* Punkt A=(a1,a2) mit |A| < r1
* Punkt B=(b1,b2) mit |B| < r1
* A != B

Gesucht ist der Kreis K2
(bei unendlich Radius von K2 ist
das eine euklidische Linie)
mit
* A liegt auf K2
* B liegt auf K2
* K2 schneidet K1 im rechten Winkel


Wàre einer der Schnittpunkte, z.B. S=(s1,s2), von K2 mit K1
bekannt, so hàtte man drei Punkte von K2
und damit ließe sich sowohl der Mittelpunkt M2=(m21,m22)
wie auch der Radius r2 von K2 bestimmen,
indem man die drei Punkte A,B,S jeweils in die
Kreisgleichung einsetzt

(a1 - m21)^2 + (a2 - m22)^2 = r2^2
(b1 - m21)^2 + (b2 - m22)^2 = r2^2
(s1 - m21)^2 + (s2 - m22)^2 = r2^2

und die Unbekannten bestimmt.

Der Schnittwinkel zweier Kreise im Schnittpunkt S
ist definiert durch den Winkel zwischen
den Tangenten an den beiden Kreisen im Punkt S.

Tangenten am Kreis in einem Tangentialpunkt T
sind immer orthogonal zu dem
Vektor vom Mittelpunkt M nach T,
der den Radius als Lànge besitzt.

Eine Normale auf der Tangente hat die selbe Richtung,
wie der Vektor vom Mittelpunkt M nach T.

Schneiden sich K1 und K2 _rechtwinklig_,
dann müsste die Tangente von K1 in S
die Normale von K2 in S sein,
d.h. die Tangente von K1 geht durch den
Mittelpunkt von K2.

Und umgekehrt müsste ebenfalls gelten,
die Tangente von K2 in S
ist die Normale von K1 in S sein,
d.h. die Tangente von K2 geht durch den
Mittelpunkt von K1.

Es gilt für zwei Vektoren a, b in IR^2,
die einen Winkel phi bilden:
cos phi = (a * b) / (|a||b|)

Setzt man für a den Vektor von
S nach M1 entlang der Tangente von K2,
also a = M1 - S,
und für b den Vektor von
S nach M2 entlang der Tangente von K1,
also b = M2 - S,
dann erhàlt man

cos phi
= ((M1 - S) * (M2 - S)) / (|(M1 - S)||(M2 - S)|)

Da phi genau 90° oder pi/2 ist (Schnitt im rechten Winkel
der beiden Kreise), vereinfacht sich
dies zu:

((M1 - S) * (M2 - S)) / (|(M1 - S)||(M2 - S)|) = 0


Die Tangente an K1 im Punkt S erfüllt:
s1 x + s2 y = 1^2
=> s1 x + s2 y - 1 = 0

Die Tangente an K2 im Punkt S erfüllt:
(s1-m21)(x-m21) + (s2-m22)(y-m22) = r2^2
=> (s1-m21)(x-m21) + (s2-m22)(y-m22) - r2^2 = 0

Die Normale an K1 im Punkt S erfüllt:
(y-s2)s1 = (x-s1)s2
=> (y-s2)s1 - (x-s1)s2 = 0

Die Normale an K2 im Punkt S erfüllt:
(y-s2)(s1-m22) = (x-s1)(s2-m22)
=> (y-s2)(s1-m22) - (x-s1)(s2-m22) = 0

Wie schon geschrieben sollte für den
Schnittwinkel 90 gelten:
Tangente K1 = Normale K2
Tangente K2 = Normale K1

Damit erhàlt man:

s1 x + s2 y - 1
= (y-s2)(s1-m22) - (x-s1)(s2-m22)

und

(s1-m21)(x-m21) + (s2-m22)(y-m22) - r2^2
= (y-s2)s1 - (x-s1)s2


Fasse ich nochmal die 6 Gleichungen
in einem System zusammen:
(a1 - m21)^2 + (a2 - m22)^2 = r2^2
(b1 - m21)^2 + (b2 - m22)^2 = r2^2
(s1 - m21)^2 + (s2 - m22)^2 = r2^2

((M1 - S) * (M2 - S)) / (|(M1 - S)||(M2 - S)|) = 0

s1 x + s2 y - 1
= (y-s2)(s1-m22) - (x-s1)(s2-m22)

(s1-m21)(x-m21) + (s2-m22)(y-m22) - r2^2
= (y-s2)s1 - (x-s1)s2

Die Unbekannten sind 7 Stück, wenn ich
mich nicht verzàhlt habe:
M2 = (m21, m22)
S = (s1, s2)
r2, x, y


Bekannt bzw festgelegt sind:
M1 = (0,0)
r1 = 1
A = (a1,a2)
B = (b1,b2)

7 Unbekannte auf 6 Gleichungen,
dies bedeutet irgendetwas fehlt noch,
dann habe ich etwas vergessen,
oder ich habe einen anderen Fehler gemacht...

Es wàre sehr freundlich von Euch,
wenn Ihr mir mal wieder helfen könntet.

Besten Gruß und vielen Dank,
Robert
 

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#1 Jutta Gut
12/04/2008 - 08:44 | Warnen spam
"Robert Hartmann" schrieb

Gegeben ist der Einheitskreis K1
* Mittelpunkt M1=(m11,m12)=(0,0)
* Radius r1 = 1

Zwei von einander verschiedene Punkte
innerhalb des Einheitskreises
* Punkt A=(a1,a2) mit |A| < r1
* Punkt B=(b1,b2) mit |B| < r1
* A != B

Gesucht ist der Kreis K2
(bei unendlich Radius von K2 ist
das eine euklidische Linie)
mit
* A liegt auf K2
* B liegt auf K2
* K2 schneidet K1 im rechten Winkel



Such mal unter dem Stichwort "Inversion".

Grüße
Jutta

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